1 函数的周期性——对周期函数的概念剖析与判断 现行高中数学教材指出：“一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。”又指出：“对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。” 显然，教材运用了属加种差的定义方法对周期函数进行描述，这里的属概念是函数，种差是指与其它函数不同的f(x＋T )＝f(x)这个特殊属性。其语言是凝缩的、内容是丰富的。 ⑴对周期函数的概念剖析： ①T 是不为零的常数，故T 的值可正可负。如： 函数y＝sinx(x∈R+)仅有正周期2π，4π，…； 函数y＝sinx(x∈R－)仅有负周期-2π，-4π，…； 函数y＝sinx(x∈R)既有正周期又有负周期±2π，±4π，…。 ②x 取定义域内的每一个值，不是x 取定义域内的某一个、某几个、甚至无穷多个值。如对于6x有2sinsin636，但是23 并不是函数 sinyx xR的周期。 ③对于定义域内的每一个x 的值加非零常数T，有f(x＋T)＝f(x)成立，不是对于定义域内的01xR且或值加非零常数T，有fx Tfx。 如sin2sin,233xx但不是函数sin 3xy的周期，而6sin2sinsin333xxxy，其周期为6π。可见函数的周期与自变量 x的系数有关，如果对于任意 x∈X，恒有fx Tfx成立，则函数f(x) 的周期为T，复合函数f(wx)的周期为T′＝T (ω ，T 均为非零常数)。 ④对于定义域内的每一个x的值加非零常数T，其函数值不变，不是加非零变数其函数值不变。如函数 52 ,nfxxnZ，对于任 意 一个自 变 量2nxX，再 加上 同一个变 量 2n ，总 有12225nnnff，但变数2n 不是该函数的周期，因为函数 52 ,nfxxnZ根本不是周期函数。 ⑤x∈X 且 x＋T∈X，进而推出x＋nT∈X，由此可知，定义域是至少一端无界的区间为周期函数的必要条件。显然定义域为两端有界区间的函数如sin4 ,6yx x 就不是周期函数。 函数的周期性判断及考查方向 2 ⑥若T 为函数的周期，则有 fxnTfxnN。即nT 也是该函数的周期。特别地， 0f nTfnN，如 tan...
