第1页 共8页 函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数)(xf在点0xx及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0xfxf，则)(0xf是函数)(xf的一个极大值，记作 )(0xfy极大值； （2）若对0x附近的所有点，都有)()(0xfxf，则)(0xf是函数)(xf的一个极小值，记作)(0xfy极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(xf ； ③求方程0)(xf的根； ④检查'( )fx 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数( )yf x在闭区间],[ ba上连续，则)(xf在],[ ba上必有最大值和最小值；在开区间),(ba内连函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值 第2页 共8页 续的函数)(xf不一定有最大值与最小值.如 1( )(0)f xxx. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数( )yf x在闭区间],[ ba有定义，在开区间( , )a b 内有导数，则求函数( )yf x在],[ ba上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(xf在),(ba内的导数)(xf ； （2）求方程0)( xf在),(ba内的根； （3）求在),(ba内使0)( xf的所有点的函数值和)(xf在闭区间端点处的函数值)(af，)(bf； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数( )yf x在闭区间],[ ba上的最大值，最小者为函数( )yf x在闭区间],[ ba上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例 1.已知函数.,33)(23Rmxxmxxf若函数1)(xxf在处取得极值，试求m 的值，并求)(xf在点))1(,1(fM处的切线方程； 【解析】2'( )363,.fxmxxmR 因为1)(xxf在处取得极值 所以'( 1)3630fm...
