函数的级数展开VIP专享VIP免费

§ 2 函数的幂级数展开 (一) 教学目的： 掌握泰勒级数和麦克劳林级数展开，初等函数的幂级数展开．熟记一些初等函数的幂级数展开式. (二) 教学内容： 泰勒级数和麦克劳林级数展开式的定义；五种基本初等函数的幂级数展开式． 基本要求： (1) 掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，五种基本初等函数的幂级数展开． (2) 学会用逐项求积和逐项求导的方法展开初等函数，并利用它们作间接展开． (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，并利用五种基本初等函数的幂级数展开某些初等函数或作间接展开． (2) 对较好学生可布置利用逐项求导和逐项求积的方法展开初等函数的习题 Taylor级数 设函数)(xf在点0x 有任意阶导数. Taylor公式： nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()( nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(!2)())(()(00)(200000)(xRn. 余项)(xRn的形式: Peano型余项: )(xRnnxxo)(0, （ 只要求在点0x 的某邻域内有1n阶导数，)(0)(xfn存在 ） Lagrange型余项: )(xRn ,)()!1()(10)1(nnxxnf在 x 与0x 之间. 或 )(xRn0 ,)()!1()(1000)1(nnxxnxxxf1 . 积分型余项: 当函数)(xf在点0x 的某邻域内有1n阶连续导数时, 有 )(xRnxxnndttxtfn0))((!1)1(. Cauchy余项: 在上述积分型余项的条件下, 有 Cauchy余项 )(xRn10 ,)()1()(!11000)1(nnnxxxxxfn. 特别地，0x0时，Cauchy余项为 )(xRn ,))((!1)1(xxfnnn在0 与 x之间. Taylor公式的项数无限增多时, 得 nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(!2)())(()(00)(200000 000)()(!)(nnnxxnxf, 自然会有以下问题: 对于在点0x 无限次可导的函数)(xf, 在)(xf的定义域内或在点0x 的某邻域内, 函数)(xf和其 Taylor级数是否相等呢? 回答是否定的. 例 1 函数)(xfx 11在点0x 无限次可微. 求得,)1(!)(1)(nnxnxf !)0( ), 1 ()(nfxn . 其 Taylor级数为 nxxx210nnx . 该幂级数的收敛域为) 1 , 1 ( . 仅在区间) 1 , 1 ( 内有)(xf=0nnx . 而在其他点并不相等, 因为级数发散. 那么, 在Taylor级数的收敛点, 是否必有)(xf和其 Taylor级数相等呢 ? 回答也是否定的. 例 2 函数 ....