“图形与变换”的备课与教学 曹培英 一、引进的背景 为什么要在基础教育阶段引进图形变换的内容，怎样认识这一引进的必要性和可能性？不妨从数学本身和数学教育的历史视角切入讨论。 我们知道，约公元前 300年，古希腊著名数学家欧几里得在前人基础上所写成的不朽名著《几何原本》，几乎包括了中小学所学习的平面几何、立体几何的全部内容。如此古老的几何内容，自然成了历次数学课程改革关注的焦点。其中最为激进的，如法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼（J.A.Dieadonne），甚至喊出了“欧几里得滚出去”的口号。但改来改去，欧几里得几何的一些内容，仍然构成了多数国家中小学数学几何部分的主要内容。有人称之为“不倒翁现象”。这是因为，欧氏几何从数学的视角，提供了现实世界的一个基本模型，非常直观地反映了我们人类的生存空间，刻画了我们视觉所观察到的物体形状及其相互位置关系。所以，这个模型的基本内容是学生能够理解和掌握的，而且应用广泛的基础知识。它比较适合中小学生学习，也有利于引导中小学生从形的角度去认识我们周围的物体和生活空间。 尽管欧氏几何仍然具有难以替代的学习价值，但在以往的教学中，它又确实暴露出一些问题。例如内容体系比较封闭，脱离实际，教学代价太大，等等。这些问题需要数学课程的设计者与数学教学的实践者共同去面对、解决。怎样改造这些传统的、古老的几何内容，怎样克服教学上的相关弊端呢？ 一条途径是教学法方面的改进。首先是内容的精简与演绎体系的通俗化。如精选一些具有实用价值和对继续学习发挥基础作用的内容，打破封闭的公理体系，扩大公理系统，降低证明难度等等。其次是突出几何事实与几何应用，重视几何直观，以及合情推理对于演绎推理的互补作用等非形式化策略。 另一条途径是用近现代数学的观点，高屋建瓴地处理传统的内容。其中几何图形的运动变换观点就是这样的重要观点之一。 从数学发展的角度来看，1872年，德国大数学家克莱茵（kIein，1849—1925）在爱尔兰根大学宣读了现在大家叫做“爱尔兰根纲领”的演说，提出用变换群将几何分类，认为一种几何无非是研究某种变换群下的不变量。这是一个里程碑式的论断，它改变了近两千年来人们用静止的观点研究几何的传统方法，从变换的视角整体考虑几何学的问题，使当时的各种几何学有了统一的形式，对几何学的发展起到了重大的推动作用。“爱尔兰根纲领”公开发表后，很快被人们接受，一些新的几何分支相继建立，几何学的理论...
