2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题VIP免费

第 1 页 共 11 页 2007 年女子数学奥林匹克 第 一天 1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n，使得m 可以表示为n和n的正约数个数（包括1 和自身）的商，则称m 是“好数”。求证： （1）1，2，…，17 都是好数； （2）18 不是好数。 2．设△ABC 是锐角三角形，点D、E、F 分别在边BC、CA、AB 上，线段AD、BE、CF经过△ABC 的外心O。已知以下六个比值 DCBD、EACE、FBAF、FABF、ECAE、DBCD 中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。 3．设整数 )3( nn，非负实数.2,,,2121nnaaaaaa满足 求11121232221aaaaaan的最小值。 4．平面内 )3( nn个点组成集合S，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：nm ，并问等号何时成立？ 第 二天 5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中 点，F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC。求证：DE⊥EF。 6．已知a、b、c≥0，.1cba求证： .3)(412cbcba 7．给定绝对值都不大于10 的整数a、b、c，三次多项式cbxaxxxf23)(满足条件32:.0001.0|)32(|问f是否一定是这个多项式的根？ 第 2 页 共 11 页 8．n个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1 分，负者得0 分，平局各得0.5 分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m—1 个棋手，也有一个棋手输给了其余m—1 个棋手，就称此赛况具有性质 P(m). 对给定的)4(mm，求 n 的最小值)(mf，使得对具有性质)(mP的任何赛况，都有所有n名棋手的得分各不相同。 综上，最少取出 11 枚棋子，才可能满足要求。 三、定义集合} .,|1{PkmkmAN 由于对任意的 k、11,,ikikPi且是无理数，则对任意的 k1、Pk 2和正整数m1、m2， .,1121212211kkmmkmkm 注意到 A 是一个无穷集。现将 A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数 n，设此数列中的第 n项为.1k 接下来确定n与 m、k 间的关系。 若.11,1111ikmmkmim则 由 m1 是正整数知，对5,4,3,2,1i，满足这个条件的 m1 的个数为].11[ikm 从而，).,(]11[51kmfikmni  因此，对任意.),(,,,nkmfPkNmNn使得存在 第 3 页 共 11 页 参考答案 第 一天 1．记)(nd为正整数n 的正约数的...