微积分基本知识第一章、极限与连续一、数列的极限1. 数列定义:按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数1,,,nxxKL叫数列 ,记作nx,并吧每个数叫做数列的项,第 n 个数叫做 数列的第 n 项或通项界的概念:一个数列nx,若0M, ..st 对*nN ,都有nxM ,则称nx是有界的 :若不论 M 有多大,总*mN , ..stmxM ,则称nx是 无界的若naxb ,则 a 称为nx 的下界 , b 称为nx 的上界nx有界的充要条件:nx既有上界,又有下界2. 数列极限的概念定义:设nx为一个数列, a 为一个常数,若对0,总N ,..st 当 nN 时,有nxa则称 a 是数列nx的极限 ,记作 limnnxa 或()nxa n数列有极限时,称该数列为收敛 的,否则为 发散 的几何意义:从第1N项开始,nx的所有项全部落在点a 的邻域 (,)aa3. 数列极限的性质①唯一性②收敛必有界③保号性:极限大小关系数列大小关系( nN 时)二、函数的极限1. 定义:两种情形①0xx :设( )f x 在点0x 处的某去心邻域有定义,A 为常数,若对0 ,0 ,..st 当00xx时,恒有( )f xA成立,则称( )f x 在0xx 时有 极限 A记作0lim( )xx f xA 或0( )()f xA xx几何意义 :对0 ,0, ..st 当00xx时,( )f x 介于两直线 yA单侧极限 :设( )f x 在点0x 处的右侧某邻域有定义,A 为常数,若对0 ,0 ,..st 当00xx时,恒有( )f xA成立,称( )f x 在0x 处有右极限 A ,记作0lim( )xx f xA 或0()f xA0lim( )xx f xA 的充要条件 为:00()()f xf x= A垂直渐近线: 当0lim( )xx f x时,0xx 为( )f x 在0x 处的渐近线② x:设函数( )f x 在0xb上有定义, A 为常数, 若对0 ,, ..Xb st当 xX 时,有( )f xA成立,则称( )f x 在 x时有极限 A ,记作lim( )xf xA 或( )()f xA xlim( )xf xA 的充要条件 为: lim( )lim( )xxf xf xA水平渐进线 : 若 lim( )xf xA或 lim( )xf xA,则 yA 是( )f x 的水平渐近线2. 函数极限的性质:①唯一性②局部有界性③局部保号性(②③在当00xx时成立)三、极限的运算法则1. 四则运算法则设( )f x 、( )g x 的极限存在 , lim( ),lim( )f xAg xB 则① lim( )( )f xg xAB② lim[( ) ( )]f x g xAB③( )lim( )f xAg xB(当0B时)④ lim( )cf xcA( c为常数)⑤ lim[( )]kkf xA( k 为正整数 )2. 复合运...