微积分基本知识第一章、极限与连续一、数列的极限1． 数列定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数1,,,nxxKL叫数列 ，记作nx，并吧每个数叫做数列的项，第 n 个数叫做 数列的第 n 项或通项界的概念：一个数列nx，若0M， ..st 对*nN ，都有nxM ，则称nx是有界的 ：若不论 M 有多大，总*mN ， ..stmxM ，则称nx是 无界的若naxb ，则 a 称为nx 的下界 ， b 称为nx 的上界nx有界的充要条件：nx既有上界，又有下界2． 数列极限的概念定义：设nx为一个数列， a 为一个常数，若对0，总N ,..st 当 nN 时，有nxa则称 a 是数列nx的极限 ，记作 limnnxa 或()nxa n数列有极限时，称该数列为收敛 的，否则为 发散 的几何意义：从第1N项开始，nx的所有项全部落在点a 的邻域 (,)aa3． 数列极限的性质①唯一性②收敛必有界③保号性：极限大小关系数列大小关系（ nN 时）二、函数的极限1. 定义：两种情形①0xx ：设( )f x 在点0x 处的某去心邻域有定义，A 为常数，若对0 ，0 ，..st 当00xx时，恒有( )f xA成立，则称( )f x 在0xx 时有 极限 A记作0lim( )xx f xA 或0( )()f xA xx几何意义 ：对0 ，0， ..st 当00xx时，( )f x 介于两直线 yA单侧极限 ：设( )f x 在点0x 处的右侧某邻域有定义，A 为常数，若对0 ，0 ，..st 当00xx时，恒有( )f xA成立，称( )f x 在0x 处有右极限 A ，记作0lim( )xx f xA 或0()f xA0lim( )xx f xA 的充要条件 为：00()()f xf x= A垂直渐近线： 当0lim( )xx f x时，0xx 为( )f x 在0x 处的渐近线② x：设函数( )f x 在0xb上有定义， A 为常数， 若对0 ，, ..Xb st当 xX 时，有( )f xA成立，则称( )f x 在 x时有极限 A ，记作lim( )xf xA 或( )()f xA xlim( )xf xA 的充要条件 为： lim( )lim( )xxf xf xA水平渐进线 ： 若 lim( )xf xA或 lim( )xf xA，则 yA 是( )f x 的水平渐近线2. 函数极限的性质：①唯一性②局部有界性③局部保号性（②③在当00xx时成立）三、极限的运算法则1． 四则运算法则设( )f x 、( )g x 的极限存在 ， lim( ),lim( )f xAg xB 则① lim( )( )f xg xAB② lim[( ) ( )]f x g xAB③( )lim( )f xAg xB（当0B时）④ lim( )cf xcA（ c为常数）⑤ lim[( )]kkf xA（ k 为正整数 ）2． 复合运...
