2010 中国数学奥林匹克第 1 页 共 7 页 2010 中国数学奥林匹克解答 第一天 1 、如图，两圆21 ,ΓΓ相交于BA,两点，过点 B 的一条直线分别交圆21 ,ΓΓ于点DC,，过点B 的另一条直线分别交圆21 ,ΓΓ于点FE,，直线CF 分别交圆21 ,ΓΓ于点QP,．设NM ,分别是弧 PB ，弧QB 的中点．求证：若EFCD =，则NMFC,,,四点共圆．（熊斌提供） 证明：连接DFAFAEADAC,,,,，则由AEFACBAFBADB∠=∠∠=∠，及题设EFCD =知AEFACDΔ≅Δ，所以AFEADCAFAD∠=∠=，，故AFDADF∠=∠．从而 ABFADFAFDABC∠=∠=∠=∠， 即 AB 是CBF∠的角平分线． 连接FNCM,，由于M 是弧 PB 的中点，所以CM 是DCF∠的角平分线． 同样 FN 是CFB∠的角平分线，于是FNCMBA,,三线共点．设它们的交点为 I ，在圆1Γ和2Γ 中，由圆幂定理得IBAIIMCI⋅=⋅，IFNIIBAI⋅=⋅，所以IMCIIFNI⋅=⋅．从而NMFC,,,四点共圆． 2010 中国数学奥林匹克第 2 页 共 7 页 2、设整数3≥k，数列}{na满足kak2=，且对所有kn >，有 ⎩⎨⎧+=−−−．nannaaannnn不互素与若互素，与若111,2,1 证明：数列}{1−−nnaa中有无穷多项是素数．（朱华伟提供） 证明：假设kllal≥=，2．再设 p 为1−l的最小素因子． 则 .,,1,1),1(⎩⎨⎧=<≤=−pippiil 即 .,,1,1)1,22(⎩⎨⎧=<≤=−+−+pippiilil 由题设知 .,222,1,121⎩⎨⎧=−+<≤−+=−+piplpiilail 因此pplplaaplpl=−+−−+=−−+−+)22()222(21为素数，)1(21−+=−+plapl． 由以上讨论知有无穷多个kl ≥，使lal2=且paaplpl=−−+−+21为1−l的最小素因子． 2010 中国数学奥林匹克第 3 页 共 7 页 3、设复数cba,,满足：对任意模不超过 1 的复数 z ，都有12≤++cbzaz． 求||bc 的 最大值．（李伟固提供） 解：令 cbzazzf++=2)(, 212)()(−−−++==czbzazfzzg, azbzczegezhii′+′+′==−−12)()(βα． 取适当的实数βα,，使得0,≥′′ bc，对1≤r，有 abrcrrehrehrii′+′+′=≥≥−−Imsin2sin)(Im)(1122θθθθ． 不妨设0Im≥c，否则可做变换θθ−→，这样对任意的20πθ <<，有 θθθθsin2sin2sin2sin123122cbrbrcrr′′≥′+′≥−−−， 这推得 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∈≤≤′′=2,0,1 ,sin2sin41πθθθrrcbbc对任意, 故 θθθθπθπθsin2sin41minsin2sin41min2,02,0,1⎟⎠⎞⎜⎝⎛∈⎟⎠⎞⎜⎝⎛∈≤=≤rbcr 1633sin2sinmax412,0==⎟⎠⎞⎜⎝⎛∈θθπθ． 1633...
