一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理 一、根的判别式 1.一元二次方程根的判别式的定义： 运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24bbacxaa，显然只有当240bac时，才能直接开平方得：22424bbacxaa ． 也就是说，一元二次方程20(0)axbxca只有当系数a 、b 、c 满足条件240bac 时才有实数根．这里24bac叫做一元二次方程根的判别式． 2.判别式与根的关系： 在实数范围内，一元二次方程20(0)axbxca的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24bac 确定． 判别式：设一元二次方程为20(0)axbxca，其根的判别式为：24bac 则 ①0 方程20(0)axbxca有两个不相等的实数根21,242bbacxa ． ②0 方程20(0)axbxca有两个相等的实数根122bxxa ． ③0 方程20(0)axbxca没有实数根． 若 a ，b ，c 为有理数，且 为完全平方式，则方程的解为有理根； 若 为完全平方式，同时 24bbac 是2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0 ;有两个相等的实数根时，0 ;没有实数根时，0 ． (2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24bac 判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240bac 时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； ② 当0a 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点． 3.一元二次方程的根的判别式的应用： 一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数； （2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题； （4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题． 二、韦达定理 如果一元二次方程20axbxc（0a ）的两根为12xx，，那么，就有 212axbxca xxxx 比较等式两边对应项的系数，得 1212bxxacxxa ①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人...
