第 七 节用向量方法证明平行与垂直 ( 理 ) 重点难点 重点：用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系 难点：将立体几何问题转化为向量问题． 知识归纳 一、用空间向量解决立体几何问题的思路 1．坐标法：如果所给问题的图形中存在互相垂直的直线(或平面)，比较方便建立空间直角坐标系写出点的坐标，这种情况下，一般是建立恰当的空间直角坐标系，用坐标法通过坐标运算来解决． 2．基向量法 如果在所给问题中，不好寻找交于一点的互相垂直的三条直线，或者其坐标难于求出，这时常选图中不共面的三条直线上的线段构造基底，将所给问题的条件和待解决的结论，用基底及其线性表示来表达，通过向量运算来解决． 二、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤 ①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量的坐标；④结合公式进行计算，论证；⑤转化为几何结论． 三、平面的法向量 1．如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面 α，记作 a⊥α，如果 a⊥α，那么向量 a 叫做平面 α 的法向量． 2．求平面的法向量的方法 设 n 是平面 M 的一个法向量，AB、CD 是 M 内的两条相交直线，则 n·AB→＝0，n·CD→ ＝0.由此可求出一个法向量 n(向量AB→ 及CD→ 已知)． 误区警示 1．建立坐标系一定要符合右手系原则． 2．证明线面平行时，一定要说明直线在平面外． 一、如何用空间向量解决立体几何问题 1．思考方向： (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？ (2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？ (3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？ (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？ 2．空间问题如何转化为向量问题 (1)平行问题⇒ 向量共线，注意重合； (2)垂直问题⇒ 向量的数量积为零，注意零向量； (3)距离问题⇒ 向量的模； (4)求角问题⇒ 向量的夹角，注意角范围的统一． 3．向量的分解与组合是用向量法解决立体几何问题中经常遇到的问题，确定合适的基向量或建立恰当的空间直角坐标系是关键． 二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系 1．用向量方法研究两直线间的位置关系 设直线 l1、l2的方向向量分别为 a、b. (1)l1∥l2或 l1与 l2重合⇔ ...
