专题：数列中的存在性问题一、单存在性变量解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n）的方程，然后n的系数为 0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。例 1、已知数列 {na } 的前 n 项和为nS =235nn ，在数列 {nb } 中，1b =8，164nnbb =0，问是否存在常数 c 使得对任意 n ，logncnab 恒为常数 M ，若存在求出常数c 和 M , 若不存在说明理由.解析：假设存在常数c 使得对任意 n ，logncnab 恒为常数 M ， nS =235nn ，∴当 n =1 时，则1a =1S =8，当 n ≥2 时，na =1nnSS=2235[3(1)5(1)]nnnn=62n，当 n =1 适合，∴na = 62n，又 164nnbb =0，∴1nnbb=164 ，∴数列 {nb } 是首项为 8，公比为164 的等比数列，∴nb =118()64n=9 62n，则logncnab =9 662log 2ncn= 62(96 )log 2ann=6(1log 2)29log2aan，又 对任意 n ，logncnab 恒为常数 M ，∴ 6(1log 2)a=0，解得 c =2，∴ M = 29log2a=11，∴存在常数 c =2 使得对任意 n ，logncnab 恒为常数 M =11.二、双存在型变量解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。例 2、【2010 南通一模】设等差数列的前项和为且．（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t ，使得成等差数列？若存在，求出t 和 m的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设等差数列的公差为d. 由已知得⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分即解得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分.故. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（2）由（1）知 . 要使成等差数列， 必须，即，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分.（3）整理得，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分因为 m， t ...
