线性代数秩和逆VIP免费

一、 矩阵的秩 定义 1 在一个nm矩阵 A 中，任意选定 k 行和 k 列（nmk,min），位于这些选定的行和列的交点上的2k 个元素按原来的次序所组成的kk 矩阵的行列式，称为 A 的一个 k 阶子式。 例1 在矩阵 0000500041201311A 中，选第 3,1 行和第4,3列，它们交点上的元素所成的 2 阶行列式 155013 就是一个 2 阶子式。又如选第3,2,1行和第4,2,1列，相应的3阶子式就是 .10500420111 定义 2 非零矩阵的不为零的子式的最高阶数称为该矩阵的秩，零矩阵的秩规定为0 。矩阵 A 的秩记为 Arank。 例 2 证明：矩阵 A 与其转置矩阵TA 有相同的秩。 例 3 证明：阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数。 证 设 A 是一个阶梯形矩阵，不为零的行数是 r。选取这r个非零行以及各非零行第一个非零元素所在的列，由这些行和列交点上的元素所成的 r阶子式是一个上三角行列式，并且主对角线上的元素都不为零，因此它不等于零。而 A 的所有阶数大于 r 的子式都至少有一行的元素全为零，因而子式为零。所以 rAra n k 。 由于矩阵的子式的阶数不超过矩阵的行数及列数，所以nm矩阵 A 的秩 nmArank,min。而如果 mArank，就称 A 是行满秩的；如果 nArank，就称 A 是列满秩的。此外，如果 A 的所有1r阶子式全为零，由行列式的定义可知， A 的2r阶子式也一定为零，从而 A 的所有阶数大于 r的子式全都为零。因此秩有下面等价的定义： 定理 1 nm矩阵 A 的秩为 r充分必要条件是：在 A 中存在一个r阶子式不为零，且在 nmArank,min时，矩阵 A 的所有1r子阶式都为零。 定理2 初等变换不改变矩阵的秩。换句话说，等价的矩阵具有相同的秩。 证 设nmA 经初等行变换变为nmB ，且  21 ,rBra n krAra n k。当对 A 施以交换两行或以某非零数乘某一行的变换时，矩阵B 中的任何11 r阶子式等于某非零数c与 A 的某个11 r阶子式的乘积，其中1c或其他非零数。因为 A 的任何11 r阶子式皆为零，故 B 的任何11 r阶子式也都为零。 当对 A 施以第i 行的k 倍加到第 j 行的变换时，矩阵B 的任何一个11 r阶子式1B ，若它不含 B 的第 j 行或既含第 j 行又含第i 行，则它等于 A 的一个11 r阶子式；若1B 含 B 的第 j 行但不含第i ...