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线面垂直习题VIP免费

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习题精选精讲 线面垂直的证明中的找线技巧  通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1,在正方体1111ABCDA B C D中,M 为1CC 的中点,AC 交BD 于点O,求证:1AO  平面MBD. 证明:连结MO,1A M , DB⊥1A A ,DB⊥AC,1A AACA, ∴DB⊥平面11A ACC ,而1AO  平面11A ACC ∴DB⊥1AO . 设正方体棱长为a,则22132AOa,2234MOa. 在Rt△11AC M 中,22194A Ma. 22211AOMOA M,∴1AOOM. OM∩DB=O,∴ 1AO ⊥平面MBD. 评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明.  利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图2,P 是△ABC 所在平面外的一点,且 PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC.求证:BC⊥平面PAC. 证明:在平面PAC 内作 AD⊥PC 交PC 于D. 因为平面PAC⊥平面PBC,且两平面交于PC, AD  平面PAC,且 AD⊥PC, 由面面垂直的性质,得 AD⊥平面PBC. 又 BC 平面PBC,∴AD⊥BC. PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴PA⊥BC. AD∩PA=A,∴BC⊥平面PAC. (另外还可证BC 分别与相交直线AD,AC 垂直,从而得到 BC⊥平面PAC). 评注:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直线面垂直线线垂直. 一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明. 3 如图1所示,ABCD 为正方形,SA ⊥平面ABCD,过 A 且垂直于SC 的平面分别交SBSCSD,,于EFG,,.求证:AESB,AGSD. 证明: SA  平面ABCD, ∴SABC. ABBC,∴BC  平面SAB.又 AE  平面SAB,∴BCAE. SC 平面AEFG,∴SCAE.∴AE  平面SBC.∴AESB.同理可证AGSD. 评注:本 题 欲 证 线 线 垂 直 , 可 转 化 为 证 线 面 垂 直 , 在 线 线 垂 直 与线 面 垂 直 的转 化 中, 平面 起到了关键作用, 同学们应多注意考虑线...

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