习题精选精讲 线面垂直的证明中的找线技巧 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1，在正方体1111ABCDA B C D中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O，求证：1AO 平面MBD． 证明：连结MO，1A M ， DB⊥1A A ，DB⊥AC，1A AACA， ∴DB⊥平面11A ACC ，而1AO 平面11A ACC ∴DB⊥1AO ． 设正方体棱长为a，则22132AOa，2234MOa． 在Rt△11AC M 中，22194A Ma． 22211AOMOA M，∴1AOOM． OM∩DB=O，∴ 1AO ⊥平面MBD． 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明． 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且 PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC． 证明：在平面PAC 内作 AD⊥PC 交PC 于D． 因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC， AD 平面PAC，且 AD⊥PC， 由面面垂直的性质，得 AD⊥平面PBC． 又 BC 平面PBC，∴AD⊥BC． PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC． AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC． （另外还可证BC 分别与相交直线AD，AC 垂直，从而得到 BC⊥平面PAC）． 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直． 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明． 3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD，过 A 且垂直于SC 的平面分别交SBSCSD，，于EFG，，．求证：AESB，AGSD． 证明： SA 平面ABCD， ∴SABC． ABBC，∴BC 平面SAB．又 AE 平面SAB，∴BCAE． SC 平面AEFG，∴SCAE．∴AE 平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD． 评注：本 题 欲 证 线 线 垂 直 ， 可 转 化 为 证 线 面 垂 直 ， 在 线 线 垂 直 与线 面 垂 直 的转 化 中， 平面 起到了关键作用， 同学们应多注意考虑线...
