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2016 年全国高中数学联赛试题 一、填空题 1．设实数a 满足3911| |aaaa ，则a 的取值范围是____________. 【 解 】 由 于| |,0aaa，3911| |aaaa33911 ,911,aaaaaa解 之 得 ，2 310(,)33a 2.设复数,zw 满足| | 3z，()()74iz w z w，其中 i 是虚数单位，,zw 分别是,zw 的共轭复数，则(2 )(2 )zw zw 的模为_____________. 【解】 222222()() | || |74i, | || |, | || |7,4iz w z wzwzwzwzwzwzwzw| | 3z，22| |9,| |2zw， 22(2 )(2 ) | |4 | |2()98 8i1 8izw zwzwzwzw， |(2 )(2 )|1+64= 65zw zw. 【点评】2Re ,2Imz zz z zz 3.正数, ,u v w 均不等于 1，若loglog5,loglog3uvvwvwwuv.则logw u_______. 【解】loguletva ，logv wb ,由于lglglglogloglog1lglglguvuvwwvwwuvu， Then 1logw uab ，11loglog5,loglog3uvvwvwwababuvab， 14log5w uab. 【点评】换元法. 4.袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币，现随机从两个袋子中各取两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率是_________________. 【解】A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币A 中取走的纸币面值之和小于 B 中取走的纸币之和， 当袋子 A 中取走 2 张 1 元时，有233C种取法，只要 B 不取2 张 1 元即可，有227318CC， 其余情况均不符合题意，故2223732257()9( )35CCCP AC C. 5.设P 为一圆锥的顶点，, ,A B C 是底面圆周上的三点，满足090ABC，M 为AP 的中点.若1,2,2ABACAP，则二面角MBCA 的大小为______________. 【解】 122tan3 134MNMBCANB,2arctan 3MBCA. 6.设函 数44( )sins1010kxkxf xco，其 中k 是一个 正整 数 . 若对 任 意实 数 a ，均 有{ ( ) |1}{ ( ) |}f xaxaf xxR ，则k 的最小值是___________. 【解】 4422222221 cos115( )sins(sins)2sins1sin11010101010102522kxkxkxkxkxkxkxkxf xcococo312cos445kx, 当且仅当5()mxmZk时，( )f x 取到最大值，对于任意一个长为1 的区间( ,1)a a至少包含一个最大值点，从而 51,5kk. 反之，当5k时，对于任意一个区间( ,1)a a均包含( )f x 的一个完整周期，此时， { ( ) |1}{ ( ) |}f xaxaf xxR 成立， 综上，正整数k 的最小值为[5...