椭圆的方程的求法一、定义法【例 1】已知ABC 的周长是 18，)0,4(),0,4(BA，求点 C 的轨迹方程。【变式】：在周长为定值的△ ABC 中,已知 |AB|=6,且当顶点 C 位于定点 P 时,cosC有最小值为257 .建立适当的坐标系 ,求顶点 C 的轨迹方程 . 【解】 :以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系 , 设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值 ,所以 C 点的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆 , 所以焦距2c=|AB|=6 因为1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos22222CBCAaCBCACBCACBCACBCACBCAC又22)22(||||aaCBCA,所以2181cosaC, 由题意得25,25718122aa此时 ,|PA|=|PB|,P点坐标为P(0, ±4). 所以 C 点的轨迹方程为)0(1162522yyx【例 2】已知椭圆 C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为0,1，点26,23M在椭圆上，求椭圆 C 的方程；【解法 1】：有定义可得)0,1(),0,1(21FF，点26,23M在椭圆上。所以32221MFMFa，又1cO x y F 2 F 1 M 故椭圆方程为：12322yx【解 2】设椭圆方程22221(0)xyabab2211cab点26,23在椭圆上，1464322ba1233,20654222224yxabbb【例 3】已知圆221 :(1)16Fxy，定点2(1,0)F．动圆 M 过点F2，且与圆 F1相内切．求点 M 的轨迹 C 的方程 . 【解析】设圆 M 的半径为 r．因为圆 M 与圆 F1 相内切，所以 MF 1＝4－r．因为圆 M 过点 F2，所以 MF 2＝r．所以 MF1＝4－MF 2，即 MF 1＋MF 2＝4．所以点 M 的轨迹 C 是以 F1，F2 为焦点的椭圆．且此椭圆的方程形式为 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．其中 2a＝4，c＝1，所以 a＝2，b＝3．所以曲线 C 的方程 x24＋y23＝1．【例 4】设jiRyx,,,为直角坐标系内yx ,轴正方向的单位向量，,)2(jyixajyixb)2(，且8||||ba．求点),(yxM的轨迹 C 的方程；【解析】由已知可得,2,2yxbyxa，，又8||||ba知，8)2()2(2222yxyx即点),(yxM到两定点)2,0(),2,0(21FF的距离之和为定值8，又 8>4 所以),(yxM的轨迹为以)2,0(),2,0(21FF为焦点椭圆，O x y F 2 F1 M 故方程为1161222yx【例5】已知ABC 的三边长 ||, ||, ||CBABCA 成等差数列 ,若点,A B 的坐标分别为( 1,0),(1,0) .求顶点 C 的轨迹 W 的方程 ; 【解析】:因为 ||,||,||CBABCA 成等差数列 ,点,A B 的坐标分别为 ( 1,0),(1,0)所以 ||||2 ||4CBCAAB且 4||AB由椭圆的定义可知点C 的轨迹是以,A B 为焦点长轴...
