§8.5复合函数微分法VIP免费

1 §8.5 多元复合函数微分法 复习：一元复合函数的求导法则 设)]([xfy是由)(ufy 和)(xu复合而成，则)()(xufdxdududydxdy。 8.5.1 全导数 定理 1 若函数)(xu及)(xv都在点 x 可导，函数)v,u(fz 在对应点)v ,u( 处可微，则复合函数)](),([xxfz在点 x 可导，且 xdvdvzxduduzdxzd（全导数公式）。 ① 证明：给x 以增量 x ，则u 、 v 得相应的增量 u 、v  ， 从而)v,u(fz 有全增量) ,() ,(vufvvuufz， )v,u(fz 在)v ,u(处可微， ∴)(ovvzuuzz，其中22)()(vu。 )(xu、)(xv都在点x 可导， ∴)(xu、)(xv都在点x 必连续， 即当0x时，0u，0v，从而0lim0x。 xoxvvzxuuzxz)(， 而xooxx)(lim)(lim00])()([lim)(lim2200xvxuoxx 0])()([022dxdvdxdu， ∴ xoxvvzxuuzxzxxxx)(lim)(lim)(limlim0000， 即xdvdvzxduduzdxzd。 2 全导数公式可形象地表示为 ，“按线相乘，分线相加”。 可把定理 1 推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。 例如：),,(wvufz ，而)( ,)( ),(xwwxvvxuu，则 )](),(),([xwxvxufz， dxdwwzdxdvvzdxduuzdxdz。 例 1．已知xuvzarctan，而xeu ，xvcos，求 dxdz 。 解法 1：xzdxdvvzdxduuzdxdz211)sin(xxuve x 211)sin(cosxxxex。 解法 2： xxezxarctancos， 211)sin(cosxxxedxdzx。 定理 1 还可以推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况。 8.5.2 复合函数的微分法 一、复合函数的微分法 定理 2 设)v,u(fz ，而),( ),,(yxvyxu。若),( ),,(yxvyxu在点),(yx处 偏 导数都 存 在 ，而)v,u(fz 在 相 应 点),(vu可微 ，则 复 合 函 数)],(,),([yxyxfz在点),(yx处存在偏导数，且 xvvzxuuzxz， yvvzyuuzyz。 u v z x y x y u v z x x 3 类似地，)w,v,u(fz，而),(),,(),,(yxttyxvvyxuu， 则)],(,),(,),([y...