求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法- 2 - 求数列通项公式方法大全一、累加法适用于：1( )nnaaf n---------- 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。例 1 已知数列 {}na 满足11211nnaana，，求数列 {}na 的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(21 1)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnnLLL所以2nan 。例 2 已知数列 {}na 满足112 313nnnaaa，，求数列 {}na 的通项公式。解法一：由1231nnnaa得12 31nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333 )(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnLLL所以31.nnan解法二：13231nnnaa两边除以13n ，得111213333nnnnnaa，- 3 - 则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaanLLL因此11 (1 3)2(1)21131331 3322 3nnnnnann，则21133.322nnnan练习 1.已知数列na 的首项为 1，且*12 ()nnaan nN 写出数列na的通项公式. 答案：12nn练习 2.已知数列}{na 满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和nan12评注 ：已知aa1,)(1nfaann，其中 f(n) 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na . ①若 f(n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 ; ②若 f(n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; - 4 - ③若 f(n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ; ④若 f(n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 3.已知数列}{na 中, 0na且)(21nnnanaS,求数列}{na的通项公式 . 解:由已知)(21nnnanaS得)(2111nnnnnSSnSSS, 化简有nSSnn212,由类型 (1)有nSSn32212, 又11aS得11a,所以2)1(2nnSn,又0na,2)1(2nnsn, 则2)1(2)1(2nnnna n此题也可以用数学归纳法来求解二、累乘法.适用于：1( )nnaf n a---------- 这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。例 4 已知数列 {}na 满足112(1)53nnnanaa，，求数列 {}na 的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，- 5 - 故1321122112211(1)(2)2 1(1)12[2(1 1)5][2(21)5][2(21) 5 ][2(11) 5 ]32[ (1)32] 533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nnLLLL所以数列 {}na 的通项公式为(1)...