求数列通项公式的常用方法一、累加法1．适用于：1( )nnaaf n----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2．解题步骤：若1( )nnaaf n (2)n，则21321(1)(2)( )nnaafaafaaf nLL两边分别相加得111( )nnkaaf n例 1 已知数列 {}na满足11211nnaana，，求数列 {}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则所以数列 {}na的通项公式为2nan 。练习 . 已知数列}{na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式 . 答案：裂项求和nan12评注 ：已知aa1,)(1nfaann，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;③若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。二、累乘法1. 适用于：1( )nnaf n a----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。2．解题步骤：若1( )nnaf na，则31212(1)(2)( )nnaaafff naaaL L，，，两边分别相乘得，1111( )nnkaaf ka例 2 已知数列 {}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列 {}na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1) (2)2 1(1)12[2(1 1)5][2(21)5][2(21) 5 ][2(11) 5 ]32[ (1)3 2]533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nnLLLL所以数列 {}na的通项公式为(1)12325!.n nnnan练习 . 已知1,111annaann,求数列 {an} 的通项公式答案：na)1()!1(1an-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式,11nnaann转化为),1(11nnana若令1nnab,则问题进一步转化为nnnbb1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式 .三、待定系数法适用于1( )nnaqaf n基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1．形如0(,1cdcaann,其中aa1)型（1）若 c=1 时，数列 {na } 为等差数列 ;（2）若 d=0 时，数列 {na } 为等比数列 ;（3）若01且dc时，数列 {na } 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求 .解题步骤：设)(1nnaca，得)1(1ccaann，与题设,1dcaann比较系数得dc)1(，所以)0(,1ccd，所以有：)1(11cdaccdann因此数列1cda n构成以11cda为首项，以 c 为公比的等比数列，所以11)1(1nnccdacda即：1)1(11cdccdaann.例...
