简单的三角恒等变换二VIP免费

简单的三角恒等变换（二）1.化简：sin2α－2cos2αsinα－π4＝________.解析：原式＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22cosα.答案：22cosα考点一三角函数式的化解2．化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x.解：原式＝－2sin2xcos2x＋122sinπ4－xcos2π4－xcosπ4－x＝121－sin22x2sinπ4－xcosπ4－x＝12cos22xsinπ2－2x＝12cos2x.[类题通法]三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解.归纳起来常见的命题角度有：1给值求值；2给角求值；3给值求角.考点二三角函数式的求值角度一给值求值1．已知函数f(x)＝2cosx－π12，x∈R.(2)若cosθ＝35，θ∈3π2，2π，求fθ－π6.(2)因为θ∈3π2，2π，cosθ＝35，所以sinθ＝－1－cos2θ＝－1－352＝－45.所以fθ－π6＝2cosθ－π6－π12＝2cosθ－π4＝2×22cosθ＋22sinθ＝cosθ＋sinθ＝35－45＝－15.化简：sin50°(1＋3tan10°)＝________.解析：sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°1＋3·sin10°cos10°＝sin50°×cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°×212cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°·cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.答案：1角度二给角求值角度三给值求角3．已知α，β为锐角，sinα＝35，cosα＋β＝－45，求2α＋β.解： sinα＝35，α∈0，π2，∴cosα＝45， cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝35×－45＋45×35＝0.又2α＋β∈0，3π2.∴2α＋β＝π.[类题通法]三角函数求值有三类(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．已知函数f(x)＝sinx－π6＋cosx－π3，g(x)＝2sin2x2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝335，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．[解]f(x)＝sin(x＋π6)＋cos(x－π3)＝32sinx－12cosx＋12cosx＋32sinx＝3sinx，g(x)＝2sin2x2＝1－cosx.考点三三角恒等变换的综合应用(1)由f(α)＝335得sinα＝35.又α是第一象限角，所以cosα>0.从而g(α)＝1－cosα＝1－1－sin2α＝1－45＝15.(2)f(x)≥g(x)等价于3sinx≥1－cosx，即3sinx＋cosx≥1，于是sin(x＋π6)≥12，从而2kπ＋π6≤x＋π6≤2kπ＋5π6，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z}.[类题通法]三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．[针对训练]设函数f(x)＝sin2x＋π3＋33sin2x－33cos2x.(1)求f(x)的最小正周期及其图像的对称轴方程；(2)将函数f(x)的图像向右平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图像，求g(x)在区间...