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简单的三角恒等变换二VIP免费

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简单的三角恒等变换(二)1.化简:sin2α-2cos2αsinα-π4=________.解析:原式=2sinαcosα-2cos2α22sinα-cosα=22cosα.答案:22cosα考点一三角函数式的化解2.化简:2cos4x-2cos2x+122tanπ4-xsin2π4+x.解:原式=-2sin2xcos2x+122sinπ4-xcos2π4-xcosπ4-x=121-sin22x2sinπ4-xcosπ4-x=12cos22xsinπ2-2x=12cos2x.[类题通法]三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等.研究三角函数式的求值,解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系,依据函数名称的变换特点,选择合适的公式求解.归纳起来常见的命题角度有:1给值求值;2给角求值;3给值求角.考点二三角函数式的求值角度一给值求值1.已知函数f(x)=2cosx-π12,x∈R.(2)若cosθ=35,θ∈3π2,2π,求fθ-π6.(2)因为θ∈3π2,2π,cosθ=35,所以sinθ=-1-cos2θ=-1-352=-45.所以fθ-π6=2cosθ-π6-π12=2cosθ-π4=2×22cosθ+22sinθ=cosθ+sinθ=35-45=-15.化简:sin50°(1+3tan10°)=________.解析:sin50°(1+3tan10°)=sin50°1+3·sin10°cos10°=sin50°×cos10°+3sin10°cos10°=sin50°×212cos10°+32sin10°cos10°=2sin50°·cos50°cos10°=sin100°cos10°=cos10°cos10°=1.答案:1角度二给角求值角度三给值求角3.已知α,β为锐角,sinα=35,cosα+β=-45,求2α+β.解: sinα=35,α∈0,π2,∴cosα=45, cos(α+β)=-45,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=35,∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=35×-45+45×35=0.又2α+β∈0,3π2.∴2α+β=π.[类题通法]三角函数求值有三类(2)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.(1)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.已知函数f(x)=sinx-π6+cosx-π3,g(x)=2sin2x2.(1)若α是第一象限角,且f(α)=335,求g(α)的值;(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.[解]f(x)=sin(x+π6)+cos(x-π3)=32sinx-12cosx+12cosx+32sinx=3sinx,g(x)=2sin2x2=1-cosx.考点三三角恒等变换的综合应用(1)由f(α)=335得sinα=35.又α是第一象限角,所以cosα>0.从而g(α)=1-cosα=1-1-sin2α=1-45=15.(2)f(x)≥g(x)等价于3sinx≥1-cosx,即3sinx+cosx≥1,于是sin(x+π6)≥12,从而2kπ+π6≤x+π6≤2kπ+5π6,k∈Z,即2kπ≤x≤2kπ+2π3,k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ+2π3,k∈Z}.[类题通法]三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式再研究性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.[针对训练]设函数f(x)=sin2x+π3+33sin2x-33cos2x.(1)求f(x)的最小正周期及其图像的对称轴方程;(2)将函数f(x)的图像向右平移π3个单位长度,得到函数g(x)的图像,求g(x)在区间...

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