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函数的单调性与最值练习题VIP免费

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第二章第三节函数的单调性与最值一、选择题1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是()A.y=x3B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|2.下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2)”的是()A.f(x)=B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=exD.f(x)=ln(x+1)3.函数f(x)=(a>0且a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围是()A.(0,1)B.[,1)C.(0,]D.(0,]4.下列区间中,函数f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是()A.(-∞,1]B.[-1,]C.[0,)D.[1,2)5.函数y=()2x2-3x+1的递减区间为()A.(1,+∞)B.(-∞,)C.(,+∞)D.[,+∞)6.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在(0,+∞)上单调递减,且f()>0>f(-),则方程f(x)=0的根的个数为()A.0B.1C.2D.3二、填空题7.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.8.函数f(x)=,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是________.9.已知函数f(x)=(a≠1),若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是________.三、解答题10.已知函数f(x)对任意的a,b∈R恒有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.11.已知f(x)=(x≠a).(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;1(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.12.设奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数,f(-1)=-1.若函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1],a∈[-1,1]都成立,求t的取值范围.详解答案一、选择题1.解析:A选项中,函数y=x3是奇函数;B选项中,y=|x|+1是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数;C选项中,y=-x2+1是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数;D选项中,y=2-|x|=()|x|是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数.答案:B2.解析:由题意可知,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数.答案:A3.解析:据单调性定义,f(x)为减函数应满足:即≤a<1.答案:B4.解析:由2-x>0,得x<2,即函数定义域是(-∞,2).作出函数y=|ln(-x)|的图象,再将其向右平移2个单位,即函数f(x)=|ln(2-x)|的图象,由图象知f(x)在[1,2)上为增函数.答案:D5.解析:作出t=2x2-3x+1的示意图如右,∵0<<1,∴y=()t单调递减.要使y=()2x2-3x+1递减,只需x∈[,+∞].答案:D6.解析:因为在(0,+∞)上函数递减,且f()·f(-)<0,又f(x)是偶函数,所以f()·f()<0.2所以f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.又因为f(x)是偶函数,则它在(-∞,0)上也有唯一的零点,故方程f(x)=0的根有2个.答案:C二、填空题7.解析:由题意知,函数f(x)=log5(2x+1)的定义域为{x|x>-},且函数y=log5u,u=2x+1在各自定义域上都是增函数,所以该函数的单调增区间为(-,+∞).答案:(-,+∞)8.解析:由条件知,g(x)=如图所示,其递减区间是[0,1).答案:[0,1)9.解析:当a-1>0,即a>1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需3-a×1≥0,此时10,此时a<0所以,实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,3]答案:(-∞,0)∪(1,3]三、解答题10.解:(1)证明:任取x1,x2∈R,且x10,∴f(x2-x1)>1.∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0,即f(x2)>f(x1).∴f(x)是R上的增函数.(2)令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)-1=2f(2)-1,∴f(2)=3,而f(3m2-m-2)<3,∴f(3m2-m-2)0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,∴a≤1.综上所述,a的取值范围是(0,1].12.解:∵f(x)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)=1,又f(x)是[-1,1]上的奇函数,∴当x∈[-1,1]时,f(x)≤f(1)=1.3又函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,∴1≤t2-2at+1⇔2at-t2≤0,设g(a)=2at-t2(-1≤a≤1),欲使2at-t2≤0恒成立,则⇔t≥2或t=0或t≤-2.即所求t的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).4

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