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第二章第三节函数的单调性与最值一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|2．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是()A．f(x)＝B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)3．函数f(x)＝(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．[，1)C．(0，]D．(0，]4．下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是()A．(－∞，1]B．[－1，]C．[0，)D．[1,2)5．函数y＝()2x2－3x＋1的递减区间为()A．(1，＋∞)B．(－∞，)C．(，＋∞)D．[，＋∞)6．已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f()>0>f(－)，则方程f(x)＝0的根的个数为()A．0B．1C．2D．3二、填空题7．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．8．函数f(x)＝，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．9．已知函数f(x)＝(a≠1)，若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．三、解答题10．已知函数f(x)对任意的a，b∈R恒有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.11．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；1(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．12．设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，f(－1)＝－1.若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]都成立，求t的取值范围．详解答案一、选择题1．解析：A选项中，函数y＝x3是奇函数；B选项中，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数；C选项中，y＝－x2＋1是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数；D选项中，y＝2－|x|＝()|x|是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数．答案：B2．解析：由题意可知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．答案：A3．解析：据单调性定义，f(x)为减函数应满足：即≤a<1.答案：B4．解析：由2－x>0，得x<2，即函数定义域是(－∞，2)．作出函数y＝|ln(－x)|的图象，再将其向右平移2个单位，即函数f(x)＝|ln(2－x)|的图象，由图象知f(x)在[1,2)上为增函数．答案：D5．解析：作出t＝2x2－3x＋1的示意图如右，∵0<<1，∴y＝()t单调递减．要使y＝()2x2－3x＋1递减，只需x∈[，＋∞]．答案：D6．解析：因为在(0，＋∞)上函数递减，且f()·f(－)<0，又f(x)是偶函数，所以f()·f()<0.2所以f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．又因为f(x)是偶函数，则它在(－∞，0)上也有唯一的零点，故方程f(x)＝0的根有2个．答案：C二、填空题7．解析：由题意知，函数f(x)＝log5(2x＋1)的定义域为{x|x＞－}，且函数y＝log5u，u＝2x＋1在各自定义域上都是增函数，所以该函数的单调增区间为(－，＋∞)．答案：(－，＋∞)8．解析：由条件知，g(x)＝如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)9．解析：当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时10，此时a<0所以，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]答案：(－∞，0)∪(1,3]三、解答题10．解：(1)证明：任取x1，x2∈R,且x10，∴f(x2－x1)>1.∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，即f(x2)>f(x1)．∴f(x)是R上的增函数．(2)令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝2f(2)－1，∴f(2)＝3，而f(3m2－m－2)<3，∴f(3m2－m－2)0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述，a的取值范围是(0,1]．12．解：∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝1，又f(x)是[－1,1]上的奇函数，∴当x∈[－1,1]时，f(x)≤f(1)＝1.3又函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，∴1≤t2－2at＋1⇔2at－t2≤0，设g(a)＝2at－t2(－1≤a≤1)，欲使2at－t2≤0恒成立，则⇔t≥2或t＝0或t≤－2.即所求t的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．4

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