函数值域的求法VIP专享VIP免费

函数值域的求法题型一：二次函数的值域例1．求f(x)=x2−ax+6的值域解答：配方法：f(x)=x2−ax+6=(x−a2)2+6−a24≥6−a24所以值域为[6−a24，+∞]例2．求f(x)=x2−x+6在[−1，1]上的值域解答：函数图像法：f(x)=x2−x+6=(x−12)2+234画出函数的图像可知，,f(x)=x2−x+6在x=12时取到最小值234，而在x=−1时取到最大值8，可得值域为[234，8]。例3．求f(x)=x2−ax+6在[−1，1]上的值域解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a的取值有关，所以进行分类讨论：①当a≤−2时，对称轴在x=−1的左侧，所以根据图像可知，fmax=f(1)=7−a，fmin=f(−1)=7+a所以此时的值域为[7+a，7−a]②当−2≤a≤0时，对称轴在x=−1与y轴之间，所以根据图像可知，fmax=f(1)=7−a，fmin=f(a2)=6−a24所以此时的值域为[6−a24，7−a]③当0≤a≤2时，对称轴在y轴与x=1之间，所以根据图像可知，fmax=f(−1)=7+a，fmin=f(a2)=6−a24所以此时的值域为[6−a24，7+a]④当2≤a时，对称轴在x=1的右侧，所以根据图像可知，fmax=f(1)=7+a，fmin=f(−1)=7−a所以此时的值域为[7−a，7+a]题型二：指数、对数函数的值域例4．求f(x)=log2(x2−2x+6)的值域解答：复合形式用换元：令t=x2−2x+6，则由例1可知，t∈[5,+∞)根据单调性，可求出log2t的值域为[log25,+∞)例5．求f(x)=4x+2x+1+6的值域解答：因为4x=(2x)2，所以，采用换元发，令t=2x，则t∈(0,+∞)则原函数变为t2+2t+6，可以根据二次函数值域的求法得到值域为(6,+∞)题型三：分式函数的值域例6．求函数f(x)=2x+3x+1的值域解法一：分离变量法，将分式中分子部分的变量分离出去。则可以换元，令t=x+1，原函数变为2t+1t=2+1t，由反比例函数的性质可知，值域为(−∞,2)∪(2,+∞)解法二：反函数法，利用原函数的值域就是反函数的定义域，来求值域。令y=f(x)=2x+3x+1，则yx+y=2x+3，得到x=3−yy−2，可知y≠2解法三：解析几何法。考虑数形结合，联想到分式y1−y2x1−x2表示两点间连线的斜率，则讲原函数写为2x−(−3)x−(−1)，可以看成是(−1,−3),(x,2x)两点连线的斜率，其中(x,2x)是动点，构成y=2x直线轨迹，则连线必须与y=2x相交，所以连线斜率不能是2，得到值域。例7．求函数f(x)=2x+3x+1在[0，1]的值域解法一：分离变量之后采用函数图像法，令t=x+1，t∈[1,2]，原函数变为2t+1t=2+1t，可以画出2+1t的图像，或者根据单调性直接可以得到值域为[52，3]解法二：解析几何法。2x−(−3)x−(−1)，可以看成是(−1,−3),(x,2x)两点连线的斜率，其中(x,2x)是动点，不在构成直线，而是构成y=2x在[0，1]区间的线段，画出图像后观察可得斜率的范围为[52，3]例8．求函数f(x)=x2+3x+3x+1的值域解法一：分离变量法，令t=x+1，原函数变为t2+t+1t=t+1t+1由均值不等式可知当t>0,t+1t≥2，当t<0,t+1t≤−2，可以得到原函数的值域为(−∞,−1]∪[3,+∞)解法二：判别式法，令y=f(x)=x2+3x+3x+1，则yx+y=x2+3x+3，整理得关于x的一元二次方程x2+(3−y)x+3−y=0，满足方程有解，该方程的判别式Δ=(3−y)2−4(3−y)≥0可得y≤−1y或≥3,即函数的值域为(−∞,−1]∪[3,+∞)解法三：解析几何法，f(x)=x2+3x+3x+1=(x2+3x+3)−0x−(−1)，可以看成是两点(x,x2+3x+3),(−1,0)之间连线的斜率，而(x,x2+3x+3)是动点，恰好构成y=x2+3x+3的轨迹，由图像可以看出，连线斜率的范围从而得到函数的值域。例9．求函数f(x)=x2+3x+3x+1在[0，1]的值域解答：此题限制了定义域，导致判别式法失效，采用分离变量法，画出函数图像来求函数的值域。令t=x+1，t∈[1,2]，原函数变为t2+t+1t=t+1t+1画出对勾函数的图像，可以得到t+1t的值域范围是[2，52]，则最后函数的值域为[3，72]题型四：三角函数的值域例10．求函数f(x)=3sinx+4cosx+2的值域解答：使用辅助角公式，f(x)=3sinx+4cosx+2=5sin(x+ϕ)+2，可知函数的值域为[3，7]例11．求函数f(x)=3sin2x+4cos2x+2的值域解答：先化简，都转为一次三角函数后使用辅助角公式，f(x)=3sin2x+4cos2x+2=3sin2x+2cos2x+2+2=√13sin(2x+ϕ)+4可知函数的值域为[4−√13，4+√13]例12．求函数f(x)=cos2x+4cosx+2的值域解答：先化为同角的三角函数，再换元为二次函数求解值域。f(x)=cos...