用向量表示三角形的五心如图，ABC 中，E 是 AC 上一点， F 是 AB 上一点，且lnECAElmFBAF,（通分总可以把异分母分数化为同分母分数）.连接 BE、CF 交于点 D，确定点 D 的位置 . 解 :设.,bACaABDFCDDEBD,由定比分点的向量表达式,得bamlmamlmbABmlmACAFACADbnlnaACnlnABAEABAD11))(1())(1(11)(1111))(1(11)(1111nmlmnlnlnmlm解得11))(1())(1(11代入得 :bnmlnanmlmAD设 O 是平面上任意一点,则有.,,OAOCbOAOBaOAODAD上式可化为 :OCnmlnOBnmlmOAnmllOD() 由()式出发 ,可得三角形五心的向量表达式. (1).若 BE、CF 是ABC 两边的中线 ,交点 D 是三角形的重心 . 则1,1FBAFlmECAEln)(31OCOBOAOD(2)若 BE、CF 是ABC 两内角的平分线，交点D 是三角形的内心 . 则abBCACFBAFlmacBCABECAEln,代入 (*) 式得 : .OCcbacOBcbabOAcbaaOD(3)若 BE、CF 是ABC 两边上的高，交点D 是三角形的垂心 . A B C D E F 则AaBbFBAFlmAaCcCaAcECAElncoscos,coscoscoscos同理. OCCcBbAaCcOBCcBbAaBbOACcBbAaAaODcoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscos(4)若 BE、CF 的交点 D 是ABC 的外心 ,即三边中垂线的交点 ,则有:DA=DB=DC. 根据正弦定理有: ACAACCBDCAADBCCBECBEEBAABEECAEln2sin2sincossincossin)(21sinsin)(21sinsinsinsinsinsin同理ABFBAFlm2sin2sinOCCBACOBCBABOACBAAOD2sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin(5)若 BE、CF 是ABC 外角平分线 ,D 是三角形的旁心 .则:abBCACFBAFlmacBCABECAEln,OCacbcOBacbbOAacbaOD同理若 D 是顶点 B 所对的旁心 ,则有 : OCcbacOBcbabOAcbaaOD：，CDOCbcacOBbcabOAbcaaOD则有所对的旁心是顶点若.若将点 O 与上述五心重合 ,则有以下简单结论 : (1) 重心 O:0OCOBOA(2) 内心 O:0OCcOBbOAa(3) 垂心 O:0coscoscosOCCcOBBbOAAa(4) 外心 O:02sin2sin2sinOCCOBBOAA(5) A 对的旁心 O:0OCcOBbOAa; B 对的旁心 O:0OCcOBbOAaC 对的旁心 O:0OCcOBbOAa. A B C D E F
