平面几何的26个定理

1 E D C B A 高一数学竞赛班二试讲义 第1 讲 平面几何中的2 6 个定理 班级 姓名 一、知识点金 1 . 梅涅劳斯定理：若直线l不经过 ABC的顶点， 并且与 ABC的三边,,BC CA AB 或它们的延长线 分别交于,,P Q R ，则1BP CQARPC QA RB 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立 （用同一法证明） 2 . 塞瓦定理： 设,,P Q R 分别是 ABC的三边,,BC CA AB 或它们的延长线上的点， 若,,AP BQ CR 三线共点，则1BP CQARPC QA RB 注：塞瓦定理的逆定理也成立 3 . 托勒密定理：在四边形 ABCD 中，有 AB CDBC ADAC BD，并且当且仅当四边形 ABCD内接于圆时，等式成立。 ()ABCDEBAECADABEACDABBEABEACDAB CDAC BEACCDABAEBACEADABCAEDACADBCEDAD BCAC EDACADAB CDAD BCACBEEDAB CDAD BCAC BDEBDABCD   证：在四边形内取点 ，使，则：和相似又且和相似且等号当且仅当 在上时成立，即当且仅当 、 、 、 四点共圆时成立； 注：托勒密定理的逆定理也成立 4 . 西姆松定理：若从 ABC外接圆上一点 P 作,,BC AB CA 的垂线， 垂足分别为, ,D E F ，则, ,D E F 三点共线。 2 西姆松定理的逆定理：从一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为, ,D E F 。若, ,D E F 三点共线，则点P 在ABC的外接圆上。 5． 蝴蝶定理：圆O 中的弦PQ 的中点M，过点M 任作两弦AB，CD，弦AD 与BC 分别交PQ于X，Y，则M 为XY 之中点。 证明：过圆心O 作AD 与BC 的垂线，垂足为S、T， 连接OX，OY，OM，SM，MT。 △AMD∽△CMB ∴AM/CM=AD/BC AS=1/2AD，BT=1/2BC ∴AM/CM=AS/CT 又 ∠A=∠C ∴△AMS∽△CMT ∴∠MSX=∠MTY ∠OMX=∠OSX=90° ∴∠OMX+∠OSX=180° ∴O，S，X，M 四点共圆 同理，O，T，Y，M 四点共圆 ∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX ∴∠MOX=∠MOY ， OM⊥PQ ∴XM=YM 注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立 6． 坎迪定理：设 AB 是已知圆的弦，M 是 AB 上一点，弦,CD EF 过点M ，连结,CF ED ，分别交AB 于,L N ，则1111LMMNAMMB。 7． 斯特瓦尔特定理：设 P 为ABC的BC 边上任一点，则有 2222PCBPBPPCAPABACBCBCBCBC BC。 注：斯特瓦尔特定理的逆定理也成立 8．...