1 E D C B A 高一数学竞赛班二试讲义 第1 讲 平面几何中的2 6 个定理 班级 姓名 一、知识点金 1 . 梅涅劳斯定理:若直线l不经过 ABC的顶点, 并且与 ABC的三边,,BC CA AB 或它们的延长线 分别交于,,P Q R ,则1BP CQARPC QA RB 注:梅涅劳斯定理的逆定理也成立 (用同一法证明) 2 . 塞瓦定理: 设,,P Q R 分别是 ABC的三边,,BC CA AB 或它们的延长线上的点, 若,,AP BQ CR 三线共点,则1BP CQARPC QA RB 注:塞瓦定理的逆定理也成立 3 . 托勒密定理:在四边形 ABCD 中,有 AB CDBC ADAC BD,并且当且仅当四边形 ABCD内接于圆时,等式成立。 ()ABCDEBAECADABEACDABBEABEACDAB CDAC BEACCDABAEBACEADABCAEDACADBCEDAD BCAC EDACADAB CDAD BCACBEEDAB CDAD BCAC BDEBDABCD 证:在四边形内取点 ,使,则:和相似又且和相似且等号当且仅当 在上时成立,即当且仅当 、 、 、 四点共圆时成立; 注:托勒密定理的逆定理也成立 4 . 西姆松定理:若从 ABC外接圆上一点 P 作,,BC AB CA 的垂线, 垂足分别为, ,D E F ,则, ,D E F 三点共线。 2 西姆松定理的逆定理:从一点P 作,,BC AB CA 的垂线,垂足分别为, ,D E F 。若, ,D E F 三点共线,则点P 在ABC的外接圆上。 5. 蝴蝶定理:圆O 中的弦PQ 的中点M,过点M 任作两弦AB,CD,弦AD 与BC 分别交PQ于X,Y,则M 为XY 之中点。 证明:过圆心O 作AD 与BC 的垂线,垂足为S、T, 连接OX,OY,OM,SM,MT。 △AMD∽△CMB ∴AM/CM=AD/BC AS=1/2AD,BT=1/2BC ∴AM/CM=AS/CT 又 ∠A=∠C ∴△AMS∽△CMT ∴∠MSX=∠MTY ∠OMX=∠OSX=90° ∴∠OMX+∠OSX=180° ∴O,S,X,M 四点共圆 同理,O,T,Y,M 四点共圆 ∴∠MTY=∠MOY,∠MSX=∠MOX ∴∠MOX=∠MOY , OM⊥PQ ∴XM=YM 注:把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立 6. 坎迪定理:设 AB 是已知圆的弦,M 是 AB 上一点,弦,CD EF 过点M ,连结,CF ED ,分别交AB 于,L N ,则1111LMMNAMMB。 7. 斯特瓦尔特定理:设 P 为ABC的BC 边上任一点,则有 2222PCBPBPPCAPABACBCBCBCBC BC。 注:斯特瓦尔特定理的逆定理也成立 8....