绝对值不等式

12.3绝对值不等式[知识梳理 ] 1．绝对值不等式(1)定理如果 a，b 是实数，那么 |a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立．(2)如果 a，b，c 是实数，那么 |a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当 (a－b)(b－c)≥0时，等号成立，即b 落在 a，c 之间．(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式①|a1＋a2＋⋯＋ an|≤|a1|＋|a2|＋⋯＋ |an|. ②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 2．绝对值不等式的解法(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．(2)①绝对值不等式 |x|>a 与|x|0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法．|ax＋b|≤c? －c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c? ax＋b≤－c 或 ax＋b≥c(c>0)．[诊断自测 ] 1．概念思辨(1)不等式 |x－1|＋|x＋2|<2 的解集为 ?.() (2)若|x|>c 的解集为 R，则 c≤0.() (3)|ax＋b|≤c(c≥0)的解集，等价于－ c≤ax＋b≤c.() (4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当 ab≤0 时等号成立． () 答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修 A4－5P19T5)解不等式 |2x＋1|＋|x－2|>4. 解当 x≤－12时，原不等式可化为－ 2x－1＋2－x>4，所以 x<－1，此时 x<－1；当－124，所以 x>1，此时 14，所以 x>53，此时 x≥2. 综上，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)(选修 A4－5P20T9)设函数 f(x)＝|x－4|＋|x－3|. ①解不等式 f(x)≥3；②若 f(x)≥a 对一切 x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围．解①当 x≤3 时，原不等式可化为4－x＋3－x≥3，即 x≤2，所以 x≤2；当 3