群的同构定理

编辑版 word §3.4 群的同构定理同态基本定理：设是群 G 到群 G 的一个同态满射，则kerGG 。用图表示：将同态基本定理推广就得到下面的第一同构定理。定理 1 (第一同构定理 ) 设是群 G 到群 G 的一个满同态，且kerNG<，记()NN ，则GGNN ，或()()GGNN 。当kerN时，()Ne ，{ }GGGeN，第一同构定理退化成同态基本定理第一同构定理也可以用图表示：证明首先，由 NG<有()NNG<。作映射：:GGNN ，()( )xNx N ，GxNN 。以下验证是 GN 到 GN 的一个同构映射。（1）是映射：设( ,)aNbN a bG ，则1a bN ，于是11( )( )()()aba bNN ，从而( )( )a Nb N ，编辑版 word 即 GN 中的每个赔集在下的像唯一，因此确为 GN 到 GN的一个映射。（2）是满射：()GaNaGN，因为是满射，所以存在aG ，使得( )aa ，从而存在GaNN ，使得()aNa N ，即是满射。（3）是单射：设()()aNbN ，即( )( )a Nb N ，从而11()( )( )a babN 。但是满同态且()NN ，所以cN ，使得11111()( )()Kera bca b cea bc。于是由已知条件 kerN 得11111a bcNa ba bccN ，从而 aNbN ，即是单射。（4）又由于()(())()( )( )( )( )() ()aN bNab Nab Nab Na Nb NaNbN ，所以是 GN 到 GN 的一个同态映射。综上所述，是 GN 到 GN 的一个同构。所以GGNN 。作业： P104第 4 题（提示：用同态基本定理 ）。推论 1. 设,HG NG<<且 NH ，则GGNHHN。证明取自然同态:GGN ，( )aaN ，其核 KerN 。在第一同构定理中取GGN ，取 N 为这里的 H ，并注意编辑版 word ()HHN ，由第一同构定理得GGNHHN。例 1设,HG KG<<，证明GGHHKHKH。证明 由,HG KGHKG<<<。又显然 HHK<，直接由推论得GGHHKHKH 。注意：交换,H K 的位置也可以得GGKHKHKK。定理 2 (第二同构定理 ) 设 G 是群， HG ， NG<，则HNHI<，且()HNHNHNI。第二同构定理也可以用图表示：证明：由 HG ， NG<有 HNG ，且 NHN<。作映射:HNHN ，( )xxN ，xH ，则显然是 H 到 HNN 的满同态。且, ( ),,Kerx xHxNx xH xNNx xH xNHNI，编辑版 word 于是由同态基本定理得()HNHHNNI。例 2 34,S S 设分别为 3 次、4 次对称群，4K 是 Klein 四元群，证明：434SSK。证明首先44KS<（见前面）。以下验证：434SS K且34{ }SKeI，再用第二同构定理即可得证。事实上，把3S 中的每个置换看成保持4 不动...