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群的同构定理

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编辑版 word §3.4 群的同构定理同态基本定理:设是群 G 到群 G 的一个同态满射,则kerGG 。用图表示:将同态基本定理推广就得到下面的第一同构定理。定理 1 (第一同构定理 ) 设是群 G 到群 G 的一个满同态,且kerNG<,记()NN ,则GGNN ,或()()GGNN 。当kerN时,()Ne ,{ }GGGeN,第一同构定理退化成同态基本定理第一同构定理也可以用图表示:证明首先,由 NG<有()NNG<。作映射::GGNN ,()( )xNx N ,GxNN 。以下验证是 GN 到 GN 的一个同构映射。(1)是映射:设( ,)aNbN a bG ,则1a bN ,于是11( )( )()()aba bNN ,从而( )( )a Nb N ,编辑版 word 即 GN 中的每个赔集在下的像唯一,因此确为 GN 到 GN的一个映射。(2)是满射:()GaNaGN,因为是满射,所以存在aG ,使得( )aa ,从而存在GaNN ,使得()aNa N ,即是满射。(3)是单射:设()()aNbN ,即( )( )a Nb N ,从而11()( )( )a babN 。但是满同态且()NN ,所以cN ,使得11111()( )()Kera bca b cea bc。于是由已知条件 kerN 得11111a bcNa ba bccN ,从而 aNbN ,即是单射。(4)又由于()(())()( )( )( )( )() ()aN bNab Nab Nab Na Nb NaNbN ,所以是 GN 到 GN 的一个同态映射。综上所述,是 GN 到 GN 的一个同构。所以GGNN 。作业: P104第 4 题(提示:用同态基本定理 )。推论 1. 设,HG NG<<且 NH ,则GGNHHN。证明取自然同态:GGN ,( )aaN ,其核 KerN 。在第一同构定理中取GGN ,取 N 为这里的 H ,并注意编辑版 word ()HHN ,由第一同构定理得GGNHHN。例 1设,HG KG<<,证明GGHHKHKH。证明 由,HG KGHKG<<<。又显然 HHK<,直接由推论得GGHHKHKH 。注意:交换,H K 的位置也可以得GGKHKHKK。定理 2 (第二同构定理 ) 设 G 是群, HG , NG<,则HNHI<,且()HNHNHNI。第二同构定理也可以用图表示:证明:由 HG , NG<有 HNG ,且 NHN<。作映射:HNHN ,( )xxN ,xH ,则显然是 H 到 HNN 的满同态。且, ( ),,Kerx xHxNx xH xNNx xH xNHNI,编辑版 word 于是由同态基本定理得()HNHHNNI。例 2 34,S S 设分别为 3 次、4 次对称群,4K 是 Klein 四元群,证明:434SSK。证明首先44KS<(见前面)。以下验证:434SS K且34{ }SKeI,再用第二同构定理即可得证。事实上,把3S 中的每个置换看成保持4 不动...

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