数列求和及极限

数列求和及极限 【知识及方法归纳】 1、 数列求和主要有以下几种常见方法：（1）公式法；（2）通项转移法；（3）倒序相加法；（4）裂项相消法；（5）错项消法；（6）猜想、证明（数学归纳法）。 2、 能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限；求无穷等比数列各项的和。 【学法指导】 1、 在公式法求和中，除等差、等比的求和公式外，还应掌握自然数方幂数列的求和公式，如：21 +22 +23 +…+2n =6)12)(1(nnn；2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列，可通过对数列通项结构特点的分析研究，将 2 其分解为若干个易求和的新数列的和、差；3、将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易求和，这样的数列常用倒序相加，如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到；4、利用裂项变换改写数列的通项公式，通过消去中间项达到求和的目的；5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列，其求和的方法类似于推导等比数列前n 项和公式的方法，通过乘于等比数列的公比，在错位相减，转化为等比数列的求和问题；6、通过对1S 、2S 、3S …进行归纳，分析，寻求规律，猜想出nS ，然后再用数学归纳法给予证明。 【典型例题】 例1 求和：21 +23 +25 +…+2)12(n 【分析】这是一个通项为2)12(n的数列求前 n 项和，对通项公式展开可得： na =1442 nn，所以对原数列求和分解为 3 个新数列求和，可用方法 2 求和。 【简解】21 +23 +25 +…+2)12(n=（114142）+（124242）+…+（1442 nn）=4（21 +22 +23 +…+2n ）–4·（1+2+3+…+n）+n=4。 3)12)(12(2)1(46)12)(1(nnnnnnnnn。 例2 求和：12510257541…+1523nn 【分析】这是一个通项为1523nn的数列求前n 项和，观察通项，不难发现它是一个等差数列与一个等比数列的积，可用方法 5 求和。 【 简解 】 设nS=12510257541… +1523nn， 则nS51=25451 + … +nnnn5235531， 所以nS)511( =1+25353 + … +nnn523531=1+251511(53…251n）–nn523 =1+511)51(1531n–nn523 =nn5471247，所以nS =15167121635nn。 例3 求2222223217,215,13，…的前 n项和 【分析】先写出此数列的通项2222112nnan=)1(66)12)(1(12nnnnnn=)111(6...