数列求和及极限 【知识及方法归纳】 1、 数列求和主要有以下几种常见方法:(1)公式法;(2)通项转移法;(3)倒序相加法;(4)裂项相消法;(5)错项消法;(6)猜想、证明(数学归纳法)。 2、 能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限;求无穷等比数列各项的和。 【学法指导】 1、 在公式法求和中,除等差、等比的求和公式外,还应掌握自然数方幂数列的求和公式,如:21 +22 +23 +…+2n =6)12)(1(nnn;2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列,可通过对数列通项结构特点的分析研究,将 2 其分解为若干个易求和的新数列的和、差;3、将一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余的项易求和,这样的数列常用倒序相加,如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到;4、利用裂项变换改写数列的通项公式,通过消去中间项达到求和的目的;5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列,其求和的方法类似于推导等比数列前n 项和公式的方法,通过乘于等比数列的公比,在错位相减,转化为等比数列的求和问题;6、通过对1S 、2S 、3S …进行归纳,分析,寻求规律,猜想出nS ,然后再用数学归纳法给予证明。 【典型例题】 例1 求和:21 +23 +25 +…+2)12(n 【分析】这是一个通项为2)12(n的数列求前 n 项和,对通项公式展开可得: na =1442 nn,所以对原数列求和分解为 3 个新数列求和,可用方法 2 求和。 【简解】21 +23 +25 +…+2)12(n=(114142)+(124242)+…+(1442 nn)=4(21 +22 +23 +…+2n )–4·(1+2+3+…+n)+n=4。 3)12)(12(2)1(46)12)(1(nnnnnnnnn。 例2 求和:12510257541…+1523nn 【分析】这是一个通项为1523nn的数列求前n 项和,观察通项,不难发现它是一个等差数列与一个等比数列的积,可用方法 5 求和。 【 简解 】 设nS=12510257541… +1523nn, 则nS51=25451 + … +nnnn5235531, 所以nS)511( =1+25353 + … +nnn523531=1+251511(53…251n)–nn523 =1+511)51(1531n–nn523 =nn5471247,所以nS =15167121635nn。 例3 求2222223217,215,13,…的前 n项和 【分析】先写出此数列的通项2222112nnan=)1(66)12)(1(12nnnnnn=)111(6...