问题转化策略在解题中的应用

问题转化策略在解题中的应用2 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：3 问题转化策略在解题中的应用-中学数学论文问题转化策略在解题中的应用廖宣超（赣州中学，江西赣州341000 ）摘要：问题转化也叫化归，化归是数学家特别善于使用的解题策略。所谓“化归”，就是说在解决问题时，将原问题进行变形，使之转化，直至最终归结为我们熟悉的，或易于解决的，或已经解决的（新）问题。关键词：复杂化成简单；陌生化成熟悉；抽象化成具体；含糊化成明朗中图分类号： G633 文献标识码： A 文章编号： 1005-6351(2013)-01-0061-01 运用问题转化是（化归）思想解题，要有敏锐的观察能力，有较强的转化能力，才能将问题转化为简单的、容易求解的问题。一、复杂化成简单例 1、试求常数 m 的值，使曲线 y=x2 的所有弦都不能被直线y=m(x －3)垂直平分。分析：“不能”的反面是“能”， 被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，问题转化为“抛物线y=x2 上存在两点关于直线y=m(x －3)对称，求 m 的取值范围”再求出 m 的取值集合的补集即为原问题的解。解：设抛物线y=x2上存在两点 A(x1,y1),B(x2,y2) 关于直线 y=m(x －3)对称，且 AB 的中点为 M(x0,y0) ，依题意：4 二、陌生化成熟悉例 2 、设α , β , γ为任意的三角形的三个内角，对于任意实数x,y,z,求证：x2+y2+z2≥ 2xycosα +2yzcosβ +2zxcosγ 。分析：视“x ”为主元，以不等式两边的差式构造二次函数f(x)=ax2+bx+c，再利用 f(x)≥0恒成立a0, Δ ≤0证明原不等式，通过构造二次函数把陌生转化为熟悉。证明：设 f(x)=x2 － 2(ycosα +zcos χ)x+y2+z2－ 2yzcosβ ，则有Δ =4(ycosα +zcos γ) －4(y2+z2 － 2yzcosβ )=4y2(cos2α － 1)+8yz(cosxcosγ+cos β )+4z2(cos2γ －1) = － 4y2sin2α +8yz － 4z2sinγ= － 4(ysinα － zsinγ)2 ≤05 又因为函数图象是开口向上，所以f(x)≥ 0，故 x2+y 2+z2 ≥ 2xycosα +2yzcosβ +2zxcosγ三、抽象化成具体分析：把 u2+au+b+u2－2=0 看成直线，把 a2+b2=R2看做圆，借助直线和圆的位置关系可解答。解：设直线 l:ua+b+u2－2=0 由题设知，此直线与圆a2+b2=R2 （将 a,b 作为变量）必有公共点，因此，圆心到直线的距离小于等于半径，则6 四、含糊化成明朗例 4、已知函数 f(x)=plnx+(p－1)x2+1 参考文献：［1］任勇 .高考必备［ M ］.中国青年出版社 ,2008. ［2］王俊杰 .名师一号［ M ］.河北教育出版社 ,2012.