特征方程解数列递推关系

- 1 - 用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式 一.特征方程类型与解题方法 类型一 递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn 特征方程为 X2 =aX+b 解得两根X1 X2 (1)若X1≠X2 则An=pX1n+qX2n (2)若X1=X2=X 则An=(pn+q)Xn (其中p.q 为待定系数，由A1.A2 联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列 类型二 递推公式为An+1＝ dcAbaAnn 特征方程为X=dcbaXX 解得两根X1 X2 (1)若X1≠X2 则计算2111xAxAnn=21xdcAbaAxdcAbaAnnnn=k21xAxAnn 接着做代换Bn=21xAxAnn 即成等比数列 （2）若X1=X2=X 则计算 xAn 11=xdcAbaAnn1=k+xAn 1 接着做代换Bn=xAn 1 即成等差数列 (3)若为虚数根，则为周期数列 类型三 递推公式为An+1＝ dcAbaAnn2 特征方程为X=dcbaxX 2 解得两根X1 X2 。然后参照类型二的方法进行整理 类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 An+k=c1An+k-1+c2An+k-2+…+ckAn 特征方程为 Xk= c1Xk-1+c2Xk-2+…+ck (1) 若X1≠X2≠…≠Xk 则An=Xkn11+Xkn22+…+Xk knk (2) 若所有特征根X1,X2,…,Xs.其中Xi 是特征方程的ti 次重根,有 t1+t2+…+ts=k 则An=XnQn)(11+XnQn)(22+…+XnQsns)( ， 其中)(nQi= B1 +nB2+…+nBtiti 1 （B1,B2，…，Bti 为待定系数） - 2 - 二.特征方程的推导及应用 类型一、递推公式为nnnqapaa12（其中 p，q 均为非零常数）。 先 把 原 递 推公 式 转 化 为)(112112nnnnaxaxaxa， 其 中21, xx满 足qxxpxx2121，显然21, xx是方程02qpxx的两个非零根。 1） 如果0112axa，则0112nnaxa，na 成等比，很容易求通项公式。 2） 如果0112axa，则{112 nnaxa}成等比。公比为2x ， 所以1211211)(nnnxaxaaxa，转化成：)(1122221121axaxaxxxannnn， ( I )又如果xxx21，则{121nnxa}等差，公差为)(112axa ， 所以))(1(11122121axanaxann， 即：1211221)])(1([nnxaxanaa 12211222])()2([nnxxaxanxaa 可以整理成通式：nnxBnAa)( Ii)如果21xx ，则令1121nnnbxa，Axx 21，Baxa)(112,就有 BAbbnn1，利用待定系数法可以求出nb 的通项公式 21211212121221)()()1(xxxaxaxxxxxxabnn 所以2221211212121221]...