函数最值求法VIP专享

求函数最值问题的方法1.判别式法2若函 数 y  f (x) 可化成一 个系 数含有 y 的关于 x 的二次方 程: a(y)x  b(y)xc(y)  0 。在 a(y)  0 时,由于 x, y 为实数,则有   b2(y)  4a(y)c(y)  0 ,由此可以求出 y 所在的范围,确定函数的最值。例 1.1 (1987,江苏省初中数学竞赛) 已知 p  q  2 ,其中 p,q 是实数,则 p  q 的最大值为______。解:设 s  p  q ,由 p  q  2 得,( p  q)( p  q  pq)  2( p  q)[( p  q)  3pq]  2( p  q)  3pq( p  q)  2323322331212 pq (s2 ) p,q 是方程 x2  sx (s2 )  0 的两个实根.3s3s42  s2 (s2 )  03s整理化简, 得 s3  8 ,故s  2 . 即 p  q 的最大值为 2例 1.2 (1993,全国高中数学联赛) 实数 x, y 满足4x 5xy  4y  5 ,设 s  x  y ,则22221smax 1smin的值为_______。44s 1,故(xy)2  (s 1)25542222又 x  y  s x , y 是方程t 2  st  (s 1)2  0 的两个实根.543932  s2  4(s 1)2  s2 s  4  05255解:由题意知, xy 解得10101181010smax  s ，即 smin smaxsmin513,31332.函数的单调性法当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。若函数在整个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。若函数在整个区间上不是单调的 ，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最1值，从而可以得到整个区间上的最值。例 2.1 求函数 f (x) 8x  x2  14x  x2  48 的最小值和最大值。8x  x2  0解：先求定义域，由得 6  x  8214x  x  48  0又f (x) 8 x x x  6 6 8 x， x6,8x x 6x  6 增大，而 8 x 减小.于是 f (x) 是随着 x 的增故当 x6,8，且 x 增加时，x 大而减小，即 f (x) 在区间6,8上是减函数，所以fmin(x)  f (8)  0 ,fmax(x)  f (6)  2 3例 2.2 求函数 y x 13， x  2 的最大值和最小值。2x  2x  52x 113x,...