考研试题分析四(不定积分)

考研试题分析四（不定积分） 例1 ．（1999 年高数一至四） 设是连续函数，是的原函数，则 )(xf)(xF)(xf（A） 当是奇函数时，必是偶函数。 )(xf)(xF（B） 当是偶函数时，必是奇函数。 )(xf)(xF（C） 当是周期函数时，必是周期函数。 )(xf)(xF（D） 当是单调增函数时，必是单调增函数。 )(xf)(xF[答案] （A）. [分析] 可以选取较简单的函数，逐个检验。 [解答] 取（奇函数，单调增函数），有xxf=)(CxxF+=221)(不是单调增函数,故(D)错误。 取（偶函数），有2)(xxf=CxxF+=331)(不是奇函数，故 (B)错误。 取（周期函数），有xxfcos)(=CxxF+= sin)(也是周期函数，但取1cos)(+=xxf（周期函数），有CxxxF++= sin)(不是周期函数，故(C)错误。排除法确定（A）正确。. 例2 ．(2004 年高数一) 已知，且则xxx eef−=′)(,0)1(=f=)(xf . [答案] x2ln21 [分析] 已知条件与的导数有关, 所求的是的表达式, 若能求出的导数, 则其导数的不定积分即为. )(xf)(xf)(xf)(xf[解答] 设 , 则 , 从而te x =txln=.ln)(tttf=′ 因 所以有.)()(Cxfdxxf+=′∫.)(ln21lnlnln212CxfCxxx ddxxx+=+== ∫∫ 故.ln21)(212CCxxf−+=由于,0)1(=f故取,021=− CC所以xxf2ln21)(= 1例3 ．(1992 年高数二) 求.123∫+ xdxx [答案] .)1()1(31212232Cxx++−+ [分析一] 本题中难积的部分是.12x+如果将视作整体,则分子部分可设法凑成 21x+).1(2xd+[解一] Cxxxdxxxdxxxdxxxdxx++−+=++−+=++−+=++=+∫∫∫∫21223222222222223)1()1(31)1()111(21)1(1211)1(121 [分析二] 注意到被积函数中含有的形式,故可考虑用三角代换法. 22xa+[解二] 令)22(ππ<<−=ttgtx, 则 tdtdx2sec=CxxCtttdtttdtgtdttttgxdxx++−+=+−=−===+∫∫∫∫2122323222323)1()1(31secsec31sec)1(secsecsecsec1 例4 ．(1997 年高数二) =−∫)4(xxdx [答案] .2arcsin2Cx +或.22arcsinCx+− [分析一] 本题分母中分离出.x 与分子可结合为.2xdxdx =而分母中余下的部分可化为.)(42x− 2[解一] Cxxxdxdxxxxdx+=−=−=−∫∫∫2arcsin2)(4241)4(2. [分析二] 本题分母中根号下部分可配成完全平方形式: .)2(42−− x而分子可凑成 ).2( −xd[解二] Cxxxdxxdx+−=−−−=−∫∫22arcsin)2(4)2()4(2. 例5 ．(1993 年高数一) 求.1dxexexx∫− [答案].141412Cearctgeexxxx+−+−−− [分析] 本题中难积的部分是 .1−xe 如果将视作整体,则分子部...