导数与变化率教案

变化率与导数教学内容（ 一）问题提出问题 1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 ,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关系是V (r)  43r3如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么r(V )  3 3V4分析: r(V )  3 3V，4h⑴ 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了r(1)  r(0)  0.62(dm)气球的平均膨胀率为 r(1)  r(0)  0.62(dm / L)1 0⑵ 当 V 从 1 增加到 2 时,气球 半径增加了r(2)  r(1)  0.16(dm)气球的平均膨胀率为 r(2)  r(1)  0.16(dm / L)2 1可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了 ．ot思考：当空气容量从V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率是多少 ?r(V2)  r(V1)V2 V1问题 2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相 对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间（t 单位：s）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：0  t  0.5和1 t  2 的平均速度vh(0.5)  h(0)  4.05(m / s) ；0.5  0h(2)  h(1)在1 t  2这段时间里，v  8.2(m / s)2 165探究：计算运动员在0  t 这段时间里的平均 速度，并思考以下问题：49在0  t  0.5这段时间里，v 1⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知，h(65)  h(0) ，4965)  h(0) 0(s / m) ，所以v 4965  04965虽然运动员在0  t 这段时间里的平均速度为0(s / m) ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可49h(以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．知 识 梳 理平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子f (x2)  f (x1)表示,x2  x1称为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率2．若设x  x2  x1, f  f (x2)  f (x1) (这里x 看作是对于 x1 的一个“增量”可用 x1+x 代替 x2,同样f  y  f (x2)  f (x1) )3． 则平均变化率为f (x2)  f (x1)f (x1  x)  f (x1)yf...