三角函数与导数的结合

试卷第1页，总31页导数与三角函数的结合 一、零点的判定与证明1．已知函数 sin()xfxx，()cossingxxxx （1）判断函数gx在区间 0,3 上零点的个数；（2）函数fx在区间 0,3 上的极值点从小到大分别为1x，2x，证明：  120fxfx .【分析】（1）先由原函数求出其导函数，再研究导函数在0 ，，2 ，，2,3 的符号问题，从而得出函数gx在区间 0,3 上的单调性，从而得出函数gx在区间 0,3 上零点的个数；（2）先求出函数sin()xfxx的导函数，再结合（1）的结论及正切函数的性质可得21xx   ，再结合余弦函数的单调性即可得解.【详解】解：（1）因为 ()cossingxxxx ，所以() cos sincossing xx xxxxx ，当0x ，时，sin0() 0xg x ，()gx在 0 （ ，）上单调递减，()(0)0gxg ，()gx在0 ，上无零点；当,2x  时，sin0() 0xg x ，()gx在2 （ ，）上单调递增，()0,(2) 20gg  ，()gx在2 （ ，）上有唯一零点；当2,3x 时，sin0() 0xg x ，()gx在 2（，3 ）上单调递减，(2) 0,(3) 0gg，()gx在2,3 上有唯一零点，综上，函数()gx在区间 0,3 上有两个零点;（2）因为sin()xfxx，所以cossin()2xxxfxx ，由（1）知()fx在0x ，无极值点；在,2x  有极小值点，即为1x；在2,3x 有极大值点，即为2x，由cos sin 0,tannnnnnxxxxx，1,2n,试卷第2页，总31页21211tan tan tan(),xxxxx  35() 0,( )1 0,(2) 0,( ) 022gggg 以及tanyx的单调性,1235(, ), (2, )22xx,215,(2, )2x x ，由函数tanyx在52,2单调递增,得21xx   ，12121212sinsin()( )coscosxxfxfxxxxx,由cosyx在52,2单调递减得211cos cos()cosxxx，即12cos cos 0xx ，故12()( ) 0fxfx .【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及函数的零点，主要考查了三角函数的单调性，重点考查了运算能力，属综合性较强的题型.2．已知函数cos() axfxbx ，曲线()y fx在点( ,())22f处...