2.第二章群论自测练习

精品文档---下载后可任意编辑自测练习一、概念解释1.置换 2. 群的方程定义 3 群的公理化定义 4. 群的阶 5.循环群 6. 群的指数二、推断题1.对于群 G 的任意两个元a,b 来说，方程ax=b 和ya=b 都在 G 中有解。2.任何一个子群都同一个变换群同构。3. 设,均为群 G 的子群，则H1∪H2也为 G 的子群。 （ ）4. 群 G 的不变子群 N 的不变子群 M 未必是 G 的不变子群。（ ）5.的置换π=(12342143)是一个 4—循环置换。6. 群 G 中元素 a 的逆元存在，但不一定唯一。三、选择题1. 下面是交换半群，但不是群的是（ ）。A. ( N ,+) B. (Q,+) C. (Z¿ ,+), 其中是非零整数集合 D. (C,+)2. 设是群的单位元，a,b 是的两个元素，则（ ）。A. (ab)−1=a−1b−1 B. (ab)−2=a−2 b−2 C. 若a2=e ，则a=a−1 D.ab=ba3.精确到同构, 4 阶群有( )个。A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 以下结论正确的是 ( )。A.全体非零整数对普通乘法作成一个群B.全体奇数对普通加法作成一个群C.实数域上全体阶矩阵对普通乘法作成一个群D.、实数域上行列式等于 1 的全体阶矩阵对普通乘法作成一个群5. 若分别是群的 2024 阶, 2024 阶子群, 则H∩K 是群的( ) 。 A.1 阶子群 B.2024 阶子群C.2024 阶子群 D.20242024 阶子群6. 以下结论正确的是 ( )。A.无限群中除了单位元外其余元的阶都是无限B.无限群中至少有一个无限阶元C.有限群中阶大于 2 的元的个数一定是偶数D.有限群中两个有限阶元的乘积可能是无限阶元7. 在 4 次对称群中，阶等于的元的个数是( )。 A.B.C.D.98. 设是群的不变子群，以下结论不正确的是( )。A、若是交换群，则G/N 是交换群 B、若是非交换群，则G/N 是非交换群C、若是循环群，则G/N 是循环群 D、若中元的阶都有限,则G/N 中元的阶都有限四、填空题1．设群中元素的阶为，假如an=e ，那么与存在整除关系为。2．凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。3. 设G=(a)是循环群，则与整数加群同构的一个充要条件是。4. 设是整数加群，2Z={2n|n∈Z}是的子群，则商群Z/2 Z 的阶是。5. 模的剩余类加群到模的剩余类加群的同态映射有个。6. (是素数)阶群的子群有个。7. 在全体非零复数对普通乘法作成的群中，由−1+√3i2生成的子群的所有元素是。8. 若是次对称群的阶子群，则商群S4 /N的阶是。9. 在同构的意义下，(是素数)阶群共有个。10. 在实数域上全体 2 阶可逆...