2010年全国高中数学联赛试题及答案

精品文档---下载后可任意编辑一试一、填空题（每小题 8 分，共 64 分，）1. 函数f (x)=√x−5−√24−3 x 的值域是.2. 已知函数y=(acos2 x−3)sin x 的最小值为，则实数的取值范围是.3. 双曲线x2−y2=1 的右半支与直线x=100 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是.4. 已知{an}是公差不为的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1=3,b1=1,a2=b2,3a5=b3，且存在常数α ,β 使得对每一个正整数都有an=logα bn+β ，则α +β= .5. 函数f ( x)=a2 x+3ax−2(a>0,a≠1) 在区间x∈[−1,1]上的最大值为 8，则它在这个区间上的最小值是.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.7. 正三棱柱ABC−A1B1C1的 9 条棱长都相等，是CC1 的中点，二面角B−A1P−B1=α ,则sin α= .8. 方程x+ y+z=2010 满足x≤y≤z 的正整数解（x,y,z）的个数是.二、解答题（本题满分 56 分）9.（16 分）已知函数f ( x)=ax 3+bx2+cx+d(a≠0)，当0≤x≤1时，|f'(x)|≤1 ，试求的最大值.10.（20 分）已知抛物线y2=6 x 上的两个动点，其中x1≠x2 且x1+x2=4 .线段AB 的垂直平分线与轴交于点，求Δ ABC 面积的最大值.11.（20 分）证明：方程2 x3+5 x−2=0恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列{an}，使得 25=ra1+ra2+ra3+⋯.解答1. [−3,√3]提示：易知f ( x)的定义域是[5,8]，且f ( x)在[5,8]上是增函数，从而可知f ( x)的值域为[−3,√3].2. −32≤a≤12提示：令sin x=t ，则原函数化为g(t )=(−at2+a−3)t ，即 EMBED Equation.3 .由−at 3+(a−3)t≥−3，−at (t2−1)−3(t−1)≥0 ，(t−1)(−at (t+1)−3)≥0 及t−1≤0 知−at (t+1)−3≤0 即 a(t2+t )≥−3. （1）当t=0,−1时（1）总成立；对0