华罗庚学校数学教材(五年级上)第04讲带余数的除法

本系列共15 讲第四讲带余数的除法.文档贡献者：与你的缘前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题。除此之外，例如：16÷3=5……1，即16=5×3＋1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q 和r，0≤r≤b，使得 a=b×q＋r.当 r=0 时，我们称 a 能被b 整除。当 r≠0 时，我们称 a 不能被b 整除，r 为 a 除以 b 的余数，q为 a 除以 b 的不完全商（亦简称为商）。 用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r≤b.一．例题例 1：一个两位数去除251，得到的余数是 41，求这个两位数。分析这是一道带余数的除法题，且要求的数是大于 41 的两位数，解题可从带余除式入手分析。解： 被除数÷除数=商…余数，即被除数=除数×商＋余数，∴251=除数×商＋41，251－41=除数×商，∴210=除数×商。 210=2×3×5×7，∴210 的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中 42 和 70 大于 41。所以除数是 42 或 70，即要求的两位数是 42或 70。例 2：用一个自然去除另一个整数，商40，余数是 16。被除数、除数、商与余数的和是 933，求被除数和除数各是多少。解： 被除数=除数×商＋余数，即被除数=除数×40＋16。由题意可知：被除数＋除数=933－40－16=877，∴（除数×40＋16）＋除数=877，∴除数×41=877－16=861，除数=861÷41=21。∴被除数=21×40＋16=856。答：被除数是 856，除数是 21。例 3：某年的十月里有5 个星期六，4 个星期日，问这年的10月 1 日是星期几？解：十月份共有31 天，每周共有7 天。 31=7×4＋3，∴根据题意可知：有5 天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。∴这年的10 月 1 日是星期四。例 4：3 月 18 日是星期日，从 3 月 17 日作为第一天开始往回数（即 3 月 16 日第二天，3 月 15 日第三天…）的第 1993 天是星期几？解：每周有7 天，1993÷7=284（周）…5（天）从星期日往回数5 天是星期二，所以第 1993 天必是星期二。例 5：一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求适合此条件的最小数。这是一道古算题，它早在《孙子算经》中有记载：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何”关于这道题的解法，在明朝就流传一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅共廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。...