含绝对值的不等式

含绝对值的不等式 [学习要求] （1）理解并掌握解含绝对值的不等式的基本思路是化去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式（或不等式组）来解。 （2）弄懂去绝对值符号的理论依据，掌握去绝对值符号的主要方法，会解简单的含有绝对值的不等式。 [重点难点] 1．实数绝对值的定义: |a|= 这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。 2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。 若 a>0 时，则 |x|a x<-a 或x>a。 注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点 P(x)到原点的距离。 3．常用的同解变形 |f(x)|g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)； |f(x)|<|g(x)| f2(x)a，（其中 a>0）不等式的解法。 探路：利用不等式的乘方法则或绝对值意义均可。 解：当a>0 时， |x|a x2>a2 x>a 或x<－a；其几何意义为 评注： 解：型如|x|0）和|x|>a，（a>0）的不等式，可以利用平方法化为关于x 的二 次不等式来解；也可以利用定义法来解，均可求得它们的解集。今后，要熟记|x|0）的解集为－aa，（a>0）的解集为x>a 或x<－a 是十分重要的。 例3：由定理－“|a|－|b|≤|a+b|≤|a|+|b|”导出定理：“|a|－|b|≤|a－b|≤|a|+|b|” 探路：利用“代换法” 证明：由定理一可知，|a|－|－b|≤|a+(－b)|≤|a|+|－b|，即|a|－|b|≤|a－b|≤|a|+|b| 评注：关于和、差、积、商的绝对值与绝对值的和、差、积、商，有下面性质。 （1）|a·b|=|a|·|b|； （2） ，（b≠0）； （3）|a|－|b|≤|a+b|≤|a|+|b|； （4）|a|－|b|≤|a－b|≤|a|+|b| 例4：不等式| |<1 的解集是（ ） （A）{x|50）求解。 解： <1 －1< －3<1 2< <4 4