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代数式与恒等变形

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精品文档---下载后可任意编辑 在化简、求值、证明恒等式(不等式)、解方程(不等式)的过程中,常需将代数式变形.恒等变形,没有统一的方法,需要根据具体问题,采纳不同的变形技巧,使证明过程尽量简洁,一般可以把恒等变形分为两类:一类是无附加条件的,需要在式子默认的范围中运算;另一类 是有附加条件的,要善于利用条件,简化运算.恒等式变形的基本思路:由繁到简(即由等式较繁的一边向另一边推导)和相向趋进(即将等式两边同时转化为同一形式). 恒等式证明的一般方法: 1.单向证明,即从左边证到右边或从右边证到左边,其原则是化繁为简,变形的过程中要不断注意结论的形式,调整证明的方向. 2.双向证明,即把左、右两边分别化简,使它们都等于第三个代数式.3.运用“比差法”或“比商法”,证明“左边一右边=0"或左边右边 =1(右边≠O)”,可得左边 d 右边. 4.运用分析法,由结论出发,执果索因,探求思路,本节结合实例对代数式的基本变形(如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等)方法作初步介绍,题 1 求证 :3n+2−2n+2+2×5n+2+3n−2n= 10(5n+1+3n−2n−1).对同底数幂进行合并整理,解方法一:左边=2×5×5n+1+(3n+2+3n)+(−2n+2−2n)=10×5n+1+3n(32+1)−2n−1(23+2)=10×5n+1+10×3n−10×2n−1=10(5n+1+3n−2n−1)=右边,方法二:左边=2×5n+2+3n(32+1)−2n(22+1)=2×5n+2+10×3n−5×2n.右边=10×5n+1+10×3n−10×2n−1=2×5n+2+10×3n−5×2n.故左边=右边.方法一中受右边“5n+1、3n、2n−1”的提示,对左边式子进行合并时,以5n+1、3n与2n−1为主元合并,迅速便捷.读一题,练 3 题,练就解题高手1-1.已知a+b+c=0,求证:a3+b3+c3=3abc .1-2.已知x+ y+z=xyz ,证明:x(1−y2)(1−z2)+ y(1− x2)(1−z2)+z(1−x2)(1− y2)=4 xyz .1-3.证明:√2+√3⋅√2+√2+√3.√2+√2+√2+3.√2−√2+√2+√3=1.题 2 1+2+3+⋯+100=? 经讨论,这个问题的一般结论是1+2+3+⋯+n=12 n(n ˙+¿1), ¿其中,n 为整数,现在我们来讨论一个类似的问题:1×2+2×3+...+n×(n+1)=? 观察下面三个特别的等式:1×2=13 (1×2×3−0×1×2);2×3=13(2×3×4−1×2×3);3×4=13(3×4×5−2×3×4);将这三个式子两边相加(累加),可得1×2+2×3+3×4=13×3×4×5=20. 读完这段材料,请您思考回答:(1)1×2+2×3+⋯+100×m=(2)1×2+2×3+⋯+n(n+1)=(3)1׿2×3+2×3×4 .+⋯+n(n+1)(n+2)=(只...

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