精品文档---下载后可任意编辑例 1 2024 年成都市中考第 28 题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），经过点 A 的直线 l：y＝kx＋b 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD＝4AC．（1）直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示）；（2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为，求 a 的值；（3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由．图 1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15 成都 28”，拖动点 E 在直线 AD 上方的抛物线上运动，可以体验到，当EC⊥AC 时，△ACE 的面积最大．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动点 H 在 y 轴正半轴运动，观察点 Q 和 Q′，可以看到点 Q 和点 Q′都可以落在抛物线上．思路点拨1．过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F，那么△AEF 与△CEF 是共底的两个三角形．2．以 AD 为分类标准讨论矩形，当 AD 为边时，AD 与 QP 平行且相等，对角线 AP＝QD；当 AD 为对角线时，AD 与 PQ 互相平分且相等．满分解答（1）由 y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得 A(－1, 0)．由 CD＝4AC，得 xD＝4．所以 D(4, 5a)．由 A(－1, 0)、D(4, 5a)，得直线 l 的函数表达式为 y＝ax＋a．（2）如图 1，过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F．设 E(x, ax2－2ax－3a)，F(x, ax＋a)，那么 EF＝yE－yF＝ax2－3ax－4a．由 S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝＝＝＝，得△ACE 的面积的最大值为．解方程，得．（3）已知 A(－1, 0)、D(4, 5a)，xP＝1，以 AD 为分类标准，分两种情况讨论：① 如图 2，假如 AD 为矩形的边，那么 AD//QP，AD＝QP，对角线 AP＝QD．由 xD－xA＝xP－xQ，得 xQ＝－4．当 x＝－4 时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以 Q(－4, 21a)．由 yD－yA＝yP－yQ，得 yP＝26a．所以 P(1, 26a)．由 AP2＝QD2，得 22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得 7a2＝1．所以．此时 P．② 如图 3，假如 AD 为矩形的对角线，那么 AD 与 PQ 互相平分且相等．由 xD＋xA＝xP＋xQ，得 xQ＝2．所以 Q(2,－3a)．由 yD＋yA＝yP＋yQ，得 yP＝8a．所以 P(...
