定积分不等式

Page - 1 - of 11 第三章 一元积分学 第三节 定积分值的估计及不等式 定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题，方法多样，用到的知识（微分学的知识，积分学的知识等）也很多。总的说来： （1）主要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外，以下几个简单的不等式也是有用的： （i）若]),[( )()(baxxgxf，则babadxxgdxxf)()( . （ii）babadxxfdxxf|)(||)(|. （iii）若bdcabaxxf]),,[( 0)(,则badcdxxfdxxf)()(. (iv)(柯西不等式)bababadxxgdxxfdxxgxf)()(])()([222 (2)主要用微分学的知识,包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法. (3)利用二重积分、级数等．值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程中往往要用到各种知识和方法． 例１．判断积分202sindxx的符号 分析：这个积分值是求不出来的．如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么积分值的符号很容易判断．如果被积函数在积分区间上有正、有负，那么应根据被积函数的正、负情况将积分区间分成部分区间，然后利用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积分值（实际上是比较积分值的绝对值）．本题中被积函数2sin x 在积分区间上有正、有负，先作换元：2xt ，把积分变为dtttdxx20202sin21sin后，问题更清晰，因而想到 dtttdxx20202sin21sin0sin(21dxtt)sin2 dttt 至此积分的符号凭直觉已经能判断了．但严格说明还需做一些工作，上式右端两个积分的积分区间不一样，为了方便比较，应将两个积分放在同一积分区间上进行比较．有了这些分析和思路后，解答就容易了． 解：令2xt ，则 dtttdxx20202sin21sin＝0sin(21dxtt)sin2 dttt 对上式右端后一积分换元  ut得002sinsinsindtttduuudttt 从而202sindxx0sin(21dxtt)sin0dttt Page - 2 - of 11 0sin)11(210 tdttt 注：本题的解答过程不复杂，但其过程中有两个技巧很有用（１）将积分区间分成部分区间（尤其是等分区间，特别是二等分）（２）如要比较两个在不同积分区间上的积分的大小，可通过换元变成相同积分区间上的积分，然后比较． 例２．设0a，证明：4320sin0sindxadxx axx 分析:： 从形式上看很象柯西不等式，但两个积...