实变函数期末考试卷A卷

１ 实变函数 一、 判断题（每题2 分，共20 分） 1.若A是B 的真子集，则必有BA 。 （×） 2.必有比 a 小的基数。 （√） 3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若E，则0*Em。 （×） 6.任何集nRE 都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(xf在可测集E 上可测，则)(xf在 E 的任意子集上也可测。（×） 10.)(xf在 E 上可积必积分存在。 （×） 1.设 E 为点集，EP ，则P 是E 的外点 .（ × ） 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ） 3. 设  nE是一列 可 测 集, 且1,1,2,,nnEE n 则1()lim().nnnnmEm E（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ） 5.若( )f x 在 E 上可测,则存在 F 型集,()0FE m EF,( )f x 在 F上连续.（ × ） ２ 二、填空题（每空 2 分，共 20 分） 1.设 B 是1R 中无理数集，则B c 。 2. 设1,1,,31,21,1RnA， 则0A  ，'A }0{ 。 3.设,2,1,0),11,11(nnnAn，则nnA0 )1,1( ，nnA1 }0{ 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。 5.设 E 是]1,0[上的Cantor 集，则mE 0 。 6.设 A是闭集， B 是开集，则BA \是 闭 集。 7.闭区间],[ba 上的有界函数)(xfRimann 可积的充要条件是 )(xf 是],[ba上的几乎处处的连续函数 。 8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是 Lebesgue 可积的。 三、计算题（每题 10 分，共 20 分） 1.计算dxnxxnnxRn1032221sin1)(lim。（提示：使用 Lebesgue 控制收敛定理） 解：设nxxnnxxfn32221sin1)(),2,1(n，则 （1） 因)(xfn在]1,0[上连续，所以是可测的； （2）]1,0[,0)(limxxfnn； 得分 阅卷人 ３ （3）因为 xnxnxxnnxnxxnnx2121sin121222132221)(xF 显然)(xF在]1,0[上可积。于是由Lebesgue 控制收敛定理，有 0sin1)(limsin1)(lim10322211032221dxnxxnnxLdxnxxnnxRnn 2. 设为有理数，的无理数；为小于的无理数为大于xxxxxxf,01,;1,)(2试计算]2,0[)(dxxf。 解：因为有理数集的测度为零，所以 2)(xxf ..ea 于]1,0[， xxf)( ..ea 于]2...