对称性及常微分方程的精确解

对称性及常微分方程的精确解 1 根据对称性求解一阶常微分方程 如何求解一阶常微分方程 xyyxdxdy2 （1） 的精确解？ 看起来有些困难。但是，仔细观察，不难发现方程具有如下对称性 yyxx2 也就是说对因变量y和自变量x作这样的变换，微分方程仍然不变 yxyxxdyd2 我们看如何通过变换变量求解这个方程？ 将变换写为 yeyxexaa2 （2） 可以看出，变换就是参数a 从0 改变的结果，可以认为是对a 从0 平移到a 造成的。a 可以任意改变不影响这个对称性，我们称方程（1）具有单参数平移变换不变性。 你可能有点不耐烦，“那有怎么样，我要的是方程的精确解！” 稍安勿躁，这包含变换变量的技巧！ 如果我将因变量和自变量变为)}ln(,/{},{2xxytw又会怎样？ 可以预见，方程（1）会变成0),(wdtdwF的形式。这样就可以求解了！ 为什么？ 我们看xyw/2在变换（2）时是不变的xyxyw//22，而)ln(xt 在变换（2）时有atxexta)ln()ln(， 一般方程（1）会变为 0),,(wtdtdwF （3） 的形式，但是别忘了方程（1）具有变换（2）不变性，同样地方程（3）也具有变换（2）不变性。 由于 dtdw和w 在变换（2）中不变，在变换（2）时方程（3）变为 0),,(watdtdwF 因此上述方程只能不再显含t。回答完毕。 我们看一看针对方程（1）具体的表达式 wxyxyxyyxyxydxydydxxyxdxdxxyddtdw3232)(22)/(/1)/(222222 果然改变变量后wdtdw32 不显含t 。于是 Ctwdw32 2/13322)3/)2((32ln)32ln(31)32ln(31CxxyCxxyCxxyCtw 这样就求出方程的精确解。 真得感谢对称性。是啊，对称性是个好东西！ 2 寻找微分方程的对称不变解 微分方程有没有满足对称性(2)的解？有的，当0C时2/1)32(xy就具有（2）所示对称性。事先求解方程能否得到它？可以的。 看变换（2）满足的微分方程，如果将（2）看成包含参数a 的隐函数（yx,不改变），21lnlnxdyd 我们知道方程（1）的对称解也满足这个方程，因此，对称解同时满足两个微分方程 xydxdyxyyxdxdy22 消去 dxdy，得到xyyxxy22，即xy 232，即2/1)32(xy。 3. 一般情况 我们应该总结一下了： 对于微分方程0),,(yxdxdyF， 已经知道它的变换不变性 ),(),(aygyaxfx 其中yygxxf)0,(;)0,( 我们可以反解出a 来， ),(),(1...