导数与不等式证明(绝对精华)

1 二轮专题 （十一） 导数与不等式证明 【学习目标】 1. 会利用导数证明不等式. 2. 掌握常用的证明方法. 【知识回顾】 一级排查：应知应会 1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意x[ba, ]都有)()(xgxf，可设)()()(xgxfxh，只要利用导数说明)(xh在[ba, ]上的最小值为0 即可． 二级排查：知识积累 利用导数证明不等式，解题技巧总结如下： （1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式. （2）多用分析法思考. （3）对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式. （4）常用方法还有隔离函数法，maxmin)()(xgxf，放缩法（常与数列和基本不等式一起考查），换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究 函数的单调性和最值问题. （5）建 议 有能 力同 学可以 了 解一下罗 必塔 法则 和泰 勒 展 开 式，有许 多题都是利用泰 勒 展 开 式放缩得 来. 三 极 排查：易 错 易 混 用导数证明数列时 注意定义 域 . 2 【课堂探究】 一、作差（商）法 例1、证明下列不等式： ①1 xe x ②1ln xx ③xx1-1ln ④1x1)-2(xlnx)1( x ⑤)2,0(,2sinxxx 二、利用maxmin)()(xgxf证明不等式 例2、已知函数.22)(),,(,ln)1(1)(exexgRbaxabxaxxf （1）若函数2)(xxf在处取得极小值 0，求ba, 的值； （2）在（1）的条件下，求证：对任意的],[,221eexx，总有)()(21xgxf. 3 变式：证明：对一切),0( x，都有exexx21ln成立. 三、构造辅助函数或利用主元法 例 3、已知nm, 为正整数，且,1nm 求证：mnnm)1()1(. 变式：设函数xxfln)(，22)(xxg（1x）. (1)试判断)()()1()(2xgxfxxF在定义域上的单调性； （2）当ba 0时，求证22)(2)()(baabaafbf. 4 四、分析法证明不等式 例4、设1a，函数aexxfx )1()(2.若曲线( )yf x 在点P 处的切线与x 轴平行， 且在点( , )M m n 处的切线与直线OP ...