导数与函数的单调性、极值、最值

1 § 3 .2 导数与函数的单调性、极值、最值 1．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x )>0，那么函数y ＝f(x )在这个区间内单调递增；如果f′(x )<0，那么函数y ＝f(x )在这个区间内单调递减． 2．函数的极值 (1)判断f(x 0)是极值的方法 一般地，当函数f(x )在点x 0 处连续时， ①如果在x 0 附近的左侧f′(x )>0，右侧f′(x )<0，那么f(x 0)是极大值； ②如果在x 0 附近的左侧f′(x )<0，右侧f′(x )>0，那么f(x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x )； ②求方程f′(x )＝0 的根； ③检查f′(x )在方程f′(x )＝0 的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x )在这个根处取得极小值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x )在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x )在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x )在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x )在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x )在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x )在(a，b)内的极值； ②将f(x )的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x )在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x )>0.( × ) (2)如果函数f(x )在某个区间内恒有f′(x )＝0，则f(x )在此区间内没有单调性．( √ ) (3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ ) (4)对可导函数f(x )，f′(x 0)＝0 是x 0 点为极值点的充要条件．( × ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ ) 2 (6)函数f(x)＝xsin x有无数个极值点．( √ ) 1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是( ) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1,1) 答案 A 解析 f′(x)＝ 2x－ 2x＝ 2x＋ 1x－ 1x(x>0)． ∴当 x∈(0,1)时 ， f′(x)<0， f(x)为 减 函 数 ； 当 x∈(1， ＋ ∞)时 ， f′(x)>0， f(x)为 增 函 数 ． 2．(2013·浙 江 )已知 e 为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( ) A．当 k＝1 时，f(x)在 x＝1 处取到极小值 B．当 k＝1 ...