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导数与函数的单调性、极值、最值

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1 § 3 .2 导数与函数的单调性、极值、最值 1.函数的单调性 在某个区间(a,b)内,如果f′(x )>0,那么函数y =f(x )在这个区间内单调递增;如果f′(x )<0,那么函数y =f(x )在这个区间内单调递减. 2.函数的极值 (1)判断f(x 0)是极值的方法 一般地,当函数f(x )在点x 0 处连续时, ①如果在x 0 附近的左侧f′(x )>0,右侧f′(x )<0,那么f(x 0)是极大值; ②如果在x 0 附近的左侧f′(x )<0,右侧f′(x )>0,那么f(x 0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x ); ②求方程f′(x )=0 的根; ③检查f′(x )在方程f′(x )=0 的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x )在这个根处取得极小值. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x )在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x )在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x )在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. (3)设函数f(x )在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x )在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下: ①求f(x )在(a,b)内的极值; ②将f(x )的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x )在(a,b)内单调递增,那么一定有f′(x )>0.( × ) (2)如果函数f(x )在某个区间内恒有f′(x )=0,则f(x )在此区间内没有单调性.( √ ) (3)函数的极大值不一定比极小值大.( √ ) (4)对可导函数f(x ),f′(x 0)=0 是x 0 点为极值点的充要条件.( × ) (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.( √ ) 2 (6)函数f(x)=xsin x有无数个极值点.( √ ) 1.函数f(x)=x2-2ln x的单调减区间是( ) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-1,1) 答案 A 解析 f′(x)= 2x- 2x= 2x+ 1x- 1x(x>0). ∴当 x∈(0,1)时 , f′(x)<0, f(x)为 减 函 数 ; 当 x∈(1, + ∞)时 , f′(x)>0, f(x)为 增 函 数 . 2.(2013·浙 江 )已知 e 为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则( ) A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 ...

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