导数中放缩法(切线放缩、对数均值不等式)

导数证明中的常用放缩 一、常用结论 1 、切线放缩 2 、其它对数放缩（对数均值不等式） 3、常用放缩公式：（考试时需给出证明过程） 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln1xx ，ln xx， ln 1xx （放缩成双撇函数）11ln12xxxx，11ln012xxxx， 1ln1xxxx，1ln01xxxx， （放缩成二次函数）2ln xxx， 21ln 1102xxxx ，21ln 102xxxx （放缩成类反比例函数）1ln1xx，21ln11xxxx，21ln011xxxx， ln 11xxx ，2ln 101xxxx，2ln 101xxxx 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数） 1xex ，xex，xeex， （放缩成类反比例函数）101xexx， 10xexx ， （放缩成二次函数）21102xexxx ，2311126xexxx ， 第三组：指对放缩  ln112xexxx 第四组：三角函数放缩 sintan0xxx x，21sin2xxx， 22111cos1sin22xxx . 第五组：以直线 1yx 为切线的函数 lnyx， 11xye  ，2yxx， 11yx ，lnyxx. 二、基础练习： 练习题组一 练习题组二： 二、经典例题： 母题 (2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a<0 时，证明f(x)≤－34a－2. 2思路分析 ❶fx≤－34a－2 ↓ ❷fxmax≤－34a－2 ↓ ❸fxmax＋34a＋2≤0 ↓ ❹构造函数证明 (1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1x＋2ax＋2a＋1＝x＋12ax＋1x. 若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若a<0，则当x∈0，－ 12a 时，f′(x)>0； 当x∈－ 12a，＋∞时，f′(x)<0. 故f(x)在0，－ 12a 上单调递增，在－ 12a，＋∞上单调递减． (2)证明 由(1)知，当a<0 时，f(x)在x＝－ 12a处取得最大值，最大值为f － 12a ＝ln－ 12a －1－ 14a， 所以 f(x)≤－ 34a－2 等价于 ln－ 12a －1－ 14a≤－ 34a－2， 即 ln－ 12a ＋12a＋1≤0. 设 g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝1x－1. 当x∈(0,1)时，g′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，...