微分几何测试题集锦

1 《微分几何》测试题（一） 一．填空题：（每小题2 分，共20 分） ⒈ 向量( ),3 ,r ttt a具有固定方向，则a =___t__。 ⒉ 非零向量 ( )r t 满足, ,0r r r   的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线 ⒊ 设曲线在 P 点的切向量为 ，主法向量为  ，则过 P 由 , 确定的平面 是曲线在 P 点的___密切平面__________。 ⒋ 曲线( )rr t在点0( )r t 的单位切向量是 ，则曲线在0( )r t 点的法平面方 程是__________________________。 ⒌ 曲线( )rr t在 t = 1 点处有2，则曲线在 t = 1 对应的点处其挠率 (1 )=_ -2_____。 ⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _ ⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。 ⒐ 曲 面( , )zz x y在 点000(,,)xyz的 法 线 方 程 是_____________________。 2 二．选择填空题：（每小题3 分，共30 分） 11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。 A、 直线 B、平面曲线 C、球面曲线 D、圆柱螺线 12、曲线( )rr t在P(t)点的曲率为k , 挠率为 ，则下列式子___A___不正确。 A、2rrkr B、3rrkr C、kr D、2r r rrr   13、对于曲面的第一基本形式2222,IEduFdudvGdvEGF__D___。 A、0 B、0 C、0 D、0 三．计算与证明题：（22 题14 分，其余各9 分） 21、已知圆柱螺线cos ,sin ,rtt t，试求 ⑴ 在点0,1, 2的切线和法平面。 ⑵ 曲率和挠率。 22、对于圆柱面:cos ,sin ,ru ，试求 ⑴  的第一、第二基本形式； 3 ⑵  在任意点处沿任意方向的法曲率； ⑶  在任意点的高斯曲率和平均曲率； ⑷ 试证 的坐标曲线是曲率线。 《微分几何》测试题（二） 一．单项选择题（2×10=20 分） 1．若向量函数)(trr 的终点在通过原点的一条直线上，则( ) A． )(tr是定长的； B. )(tr 是定向的； C． 1)( tr； D. 2)('tr. 2．对于向量函数)(tr，若)(tr)(tr，则( ) A．)(tr是定长向量； B.)(tr定长向量； C．)(tr是定向向量； D.)(tr是定向向量. 3．设ba, 均为非零向量，且0ab，则（ ） Ａ.ba...