必修四平面向量基本定理VIP专享

平面向量基本定理 [学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点一 平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：把不共线的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 思考 如图所示，e1，e2 是两个不共线的向量，试用e1，e2 表示向量AB→，CD→ ，EF→，GH→ ，HG→ ，a. 答案 通过观察，可得： AB→＝2e1＋3e2，CD→ ＝－e1＋4e2，EF→＝4e1－4e2， GH→ ＝－2e1＋5e2，HG→ ＝2e1－5e2，a＝－2e1. 知识点二 两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量a 和 b，如图，作OA→ ＝a，OB→ ＝b，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与 b 的夹角． ①范围：向量a 与 b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与 b 同向． ③当θ＝180°时，a 与 b 反向． (2)垂直：如果a 与 b 的夹角是90°，则称 a 与 b 垂直，记作 a⊥b. 思考 在等边三角形 ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB→、AC→；②AB→、CA→；③BA→、CA→；④AB→、BA→. 答案 ①AB→与AC→的夹角为 60°； ②AB→与CA→的夹角为 120°； ③BA→与CA→的夹角为 60°； ④AB→与BA→的夹角为 180°. 题型一 对向量的基底认识 例 1 如果 e1，e2 是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe1＋μe2(λ、μ∈R )可以表示平面 α 内的所有向量； ②对于平面 α 内任一向量 a，使 a＝λe1＋μe2 的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量 λ1e1＋μ1e2与 λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数 λ，使得 λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)； ④若存在实数 λ，μ 使得 λe1＋μe2＝0，则 λ＝μ＝0. 答案 ②③ 解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0 时，这样的λ 有无数个． 跟踪训练 1 设 e1、e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2与 e2－2e1...