例谈放缩法证明不等式的基本策略

精品文档---下载后可任意编辑例谈“放缩法〞证明不等式的根本策略江苏省苏州市木渎第二高级中学 母建军 215101近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法〞证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和根本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能表达出制造性。“放缩法〞它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否那么就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩〞的根本策略，期望对读者能有所帮助。1、添加或舍弃一些正项〔或负项〕例 1、求证：证明： 假设多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，到达证明的目的。此题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和〔或先求和再放缩〕例 2、函数 f〔x〕=4x1+4x ，求证：f〔1〕+f〔2〕+…+f〔n〕>n+12n+1−12(n∈ N¿).证明：由 f(n)= 4n1+4n =1-得 f〔1〕+f〔2〕+…+f〔n〕>1− 12⋅21 +1− 12⋅22 +⋯+1− 12⋅2n精品文档---下载后可任意编辑=n−14 (1+ 12+ 14 +⋯+ 12n−1 )=n+ 12n+1 −12 (n∈N¿).此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 假设分子, 分母假如同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，那么只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，那么只要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩，后裂项〔或先裂项再放缩〕例 3、an=n ，求证：∑＜3．证明：∑=∑＜1＋∑ ＜１＋∑==1＋ ∑ (－) =1＋1＋－－＜2＋＜3．此题先采纳减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式〞；例 4、数列满足求证：证明 此题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.精品文档---下载后可任意编辑5、逐项放大或缩小例5、设an=√1×2+√2×3+√3×4+⋯+√n(n+1)求证：n(n+1)2√n2=n √n(n+1)<√(n+ 12 )2=2n+12 ∴ ...