梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理 定理叙述 设X、Y、Z 分别在△ABC 的BC、CA、AB 所在直线上，则X、Y、Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 注意： 1 定理的应用有正反两个方向。由共线推出比例式叫作逆定理。 2 三个分点可能有两个在线段上，或者三个都不在线段上。 最简单的证明（张景中院士说过“做足够多的三角形可以解任何几何题”。等价说法是“做足够多的垂线可以解任何几何题”） 证明： 过ABC 三点向三边引垂线AA'BB'CC'， AD：DB=AA'：BB' BE：EC=BB'：CC' CF：FA=CC'：AA' 所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 一 应用梅涅劳斯定理 1.定理的条件已经具备，正向或反向应用定理。 例：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。 分析：目标明确，写出比例式就行了。 例:不等边三角形的三条外角平分线与对边延长线的交点共线。 分析：此题同上。注意外角平分线分对边成的比例与夹边比例的关系，是和内角平分线类似的。 例： 分析：直线若平行于 BC，则命题显然成立。若不平行，则作出直线与直线BC 的交点是非常自然的。 例： 如图在三角形三边取相同比例的分点。中间黑色三角形面积等于白色面积，求边上的分点比例。 分析：没啥好分析的。 总结：用定理要选取三角形和截线。目标中共线的三个点所在的直线上，一般不会包含所选取的三角形的边。 2.几个不适合用梅氏定理的例子。 例： 如图锐角x的两条边上取A,B 两点。甲乙二人分别从 A,B 出发沿箭头方向前进。保持速度不变。证明两人以及锐角顶点组成的三角形垂心在某直线上运动。 分析：本题具备定理的基本图形，并且目标是证明共线。但此处不可使用梅氏定理。因为垂心所在的定直线一般是不过锐角顶点的。那么我们取几个时刻的垂心呢？两个就够了。只要证明这两个垂心连线的斜率只与两人的速度比有关…… 总结：用数学定理要看定理中的条件部分，估计计算复杂程度。比如逆定理条件是共线，不共线则不可使用逆定理。 例： 两个线段上的点列如图连线得到交点。证明三个交点共线。用梅氏定理的证明见初三仁华课本。这里绕个路证明此题。首先，下面这个事实有用。 x,y,z,w 等8 个数看作所在点横坐标。（用了定比分点） 此时中间两个线段分点比例可由 a,b,c,d,p,q,m,n 给出。请自行练习 x,y,z,w 等8 个数看作所在点纵坐标，此时中间两个线段分点比例仍可由 a,b,c,d,p,q,m,n 给出，且与上面结果...