河北师大点集拓扑第六章教案

第六章 分离性公理 一、教学目的与要求 本章要求学生掌握的概念有：, ，，, , , 正则, 正规, 完全正则空间。在本章还要求学生掌握：, ，正则, 正规空间的充要条件、空间的性质、完全正则空间判定定理和Tychonoff 定理、所有分离性公理都是拓扑不变性质，且都不是可商性质、分离性公理中除了正规和都是可遗传性质和（有限）可积性质，Urysohn 嵌入定理、Tychonoff 定理、可分可度量化空间的充要条件、完全正则也是有限可积性质、各种空间的典型例子。 0T1T2T3T3 .5T4T0T1T2T4T二、教学重点与难点 本章教学重点：, ，，, , , 正则, 正规,完全正则空间的概念和, ，正则, 正规空间的充要条件, 完全正则空间判定定理和Tychonoff 定理。 0T1T2T3T3 .5T4T0T1T教学难点：Urysohn 嵌入定理。 三、课时安排与教学方法 教学内容 （计划／实际） 课时数 课程类型／教学方法 6.1 , 、Hausdorff 空间 0T1T2／2 理论／讲授6.2 正则、正规、、空间 (6.3 选讲) 3T4T2／2 理论／讲授6.4 完全正则空间、Tychonoff 空间 1／2 理论／讲授6.5 分离性公理和子空间、（有限）积空间、商空间 2／2 理论／讲授6.6 可度量化空间 1／2 理论／讲授 四、教学过程 §6.1 ，T ，Hausdorff空间 01T 在第二章中曾提出来什么样的拓扑空间的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来这一问题．为了回答这个问题势必要求我们对度量空间的拓扑性质有充分的了解．读者将会发现，本章中所提到的诸分离性公理，实际上是模仿度量空间的拓扑性质逐步建立起来的．对诸分离性的充分研究使我们在§6.5中能够对于前述问题作一个比较深刻的但不完全的回答． 定义6.1.1 设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开 邻 域 不包 含 另 一个点（即 如果,,x yX xy∈≠, 则或 者 x 有一个开 邻 域 U 使得 yU∉,或 者有一个开 邻 域 V 使得yxV∉)，则称 拓扑空间X 是一个0T 空间． 注：拓扑空间未必都是0T 空间，例如包含着不少于两个点的平庸空间就不是0T 空间． 定理6.1.1 拓扑空间X是一个0T 空间当且仅当X中任意两个不同的单点集有不同的闭包．(即如果,,x yX xy∈≠,则{ }{ }xy≠.) 证明: 充分性:设定理中的条件成立．则对于任何,,x yX xy∈≠，由于{ }{ }xy≠，因此或者{ } { }0xy−≠成立，或者{ } { }0yx−≠成立．当前者成立时，必定有{ }xy∉．（否则{ }...