第1章函数极限与连续

第1 章 函数、极限与连续 初等数学研究的主要是常量及其运算，而高等数学所研究的主要是变量及变量之间的依赖关系.函数正是这种依赖关系的体现，极限方法是研究变量之间依赖关系的基本方法.本章将在复习高中所学的函数与极限概念的基础上，进一步介绍两个重要极限，无穷小与无穷大的概念以及函数连续性. 1 .1 初等函数 1 .1 .1 函数的概念 1 定义 1 .1 设 x 和 y 是两个变量, D 为一个非空实数集，如果对属于 D中的每个 x ,依照某个对应法则 f ，变量 y 都有确定的数值与之对应,那么 y 就叫做 x 的函数,记作)(xfy .x 称为函数的自变量,y 称为因变量,数集 D 称为函数的定义域,函数y 的取值范围,)(|xfyyMDx 称为函数的值域. 如果对于每一个Dx ,都有且仅有一个My 与之对应，则称这种函数为单值函数.如果对于给定Dx ，有多个My 与之对应，则称这种函数为多值函数.一个多值函数通常可看成是由一些单值函数组成的.本书中，若无特别的说明，所研究的函数都是指单值函数. 函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素，而函数的值域一般称为派生要素，由定义域和对应法则确定. 在函数)(xfy 中,当 x 取定)(00Dxx时,则称)(0xf为)(xfy 在0x 处的函数值，即 0)()(0xxxfxf. 常用的函数表示法有解析法（又称公式法）、表格法和图像法. 例 1 确定函数)2ln(23)(2xxxxf的定义域，并求)(),3(2tff. 解 该函数的定义域应为满足不等式组020232xxx的 x 值的全体.解此不等式组，得32 x. 故该函数的定义域为];3,2(}32|{xxD且 01ln)23ln(3323)3(2f )2ln(23)(2422ttttf 2.反函数 在研究变量之间的函数关系时，有时函数和自变量的地位会相互转换，于是就出现了反函数的概念. 定义1 .2 设函数 )(xfy ，定义域为D，值域为M.如果对于M中的每一个 y 值，都可由)(xfy 确定唯一的x值与之对应，则得到一个定义在M上的以 y 为自变量，x 为因变量的新函数，称为)(xfy 的反函数，记着)(yfx.并称)(xfy 为直接函数.为了表述方便，通常将)(1 yfx改写为)(1 xfy.函数)(xfy 与其反函数)(1 xfy的图像关于直线xy 对称. 求反函数的过程如下： 第一步:从)(xfy 解出)(yfx； 第二步：交换字母 x和y. 例 2 求43  xy的反函数. 解 由43  xy得到34yx....