导数与函数的单调性、极值、最值VIP专享

§ 导数与函数的单调性、极值、最值1． 函数的单调性在某个区间(a，b)内，假如 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；假如 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递减．2． 函数的极值(1)推断 f(x0)是极值的方法一般地，当函数 f(x)在点 x0处连续时，① 假如在 x0附近的左侧 f ′( x )>0 ，右侧 f ′( x )<0 ，那么 f(x0)是极大值；② 假如在 x0附近的左侧 f ′( x )<0 ，右侧 f ′( x )>0 ，那么 f(x0)是微小值．(2)求可导函数极值的步骤① 求 f′(x)；② 求方程 f ′( x ) ＝ 0 的根；③ 检查 f′(x)在方程 f ′( x ) ＝ 0 的根的左右两侧导数值的符号．假如左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；假如左负右正，那么 f(x)在这个根处取得微小值．3． 函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f ( a ) 为函数的最小值，f ( b ) 为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f ( a ) 为函数的最大值，f ( b ) 为函数的最小值．(3)设函数 f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：① 求 f(x)在(a，b)内的极值；② 将 f(x)的各极值与 f ( a ) ， f ( b ) 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1． 推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充要条件．( × )(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．( × )(3)函数的极大值不一定比微小值大．( √ )(4)对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是 x0点为极值点的充要条件．( × )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是微小值．( √ )(6)函数 f(x)＝xsin x 有无数个极值点．( √ )2． 函数 f(x)＝x2－2ln x 的单调减区间是( )A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1,1)答案 A解析 f′(x)＝2x－＝(x>0)．∴当 x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．3． (2024·浙江)已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( )A．当 k＝1 时，f(x)在 x＝1 处取到微小值B．当 k＝1 时，f(x)在 x＝1 处取到极大值C．当 k＝2 时，f(x)在 x＝1 处取到微小值D．当 k...