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导数与函数的单调性、极值、最值

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§ 导数与函数的单调性、极值、最值1. 函数的单调性在某个区间(a,b)内,假如 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增;假如 f′(x)<0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减.2. 函数的极值(1)推断 f(x0)是极值的方法一般地,当函数 f(x)在点 x0处连续时,① 假如在 x0附近的左侧 f ′( x )>0 ,右侧 f ′( x )<0 ,那么 f(x0)是极大值;② 假如在 x0附近的左侧 f ′( x )<0 ,右侧 f ′( x )>0 ,那么 f(x0)是微小值.(2)求可导函数极值的步骤① 求 f′(x);② 求方程 f ′( x ) = 0 的根;③ 检查 f′(x)在方程 f ′( x ) = 0 的根的左右两侧导数值的符号.假如左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;假如左负右正,那么 f(x)在这个根处取得微小值.3. 函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f ( a ) 为函数的最小值,f ( b ) 为函数的最大值;若函数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f ( a ) 为函数的最大值,f ( b ) 为函数的最小值.(3)设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:① 求 f(x)在(a,b)内的极值;② 将 f(x)的各极值与 f ( a ) , f ( b ) 进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.1. 推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充要条件.( × )(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( × )(3)函数的极大值不一定比微小值大.( √ )(4)对可导函数 f(x),f′(x0)=0 是 x0点为极值点的充要条件.( × )(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是微小值.( √ )(6)函数 f(x)=xsin x 有无数个极值点.( √ )2. 函数 f(x)=x2-2ln x 的单调减区间是( )A.(0,1) B.(1,+∞)C.(-∞,1) D.(-1,1)答案 A解析 f′(x)=2x-=(x>0).∴当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.3. (2024·浙江)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则( )A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到微小值B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到微小值D.当 k...

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